§ 3. Простейшая релятивистская модель; «вакуумное» решение вблизи сингулярности

Мы начнем с рассмотрения анизотропного однородного решения без вращения с евклидовым сопутствующим пространством. Очевидно, в этом случае все точки трехмерного пространства равноправны, т. е. решение действительно однородно, но расширение в разных направлениях может происходить с разной скоростью.

Метрика такой модели может быть записана в виде (скорость света положена равной единице)

Функции с зависят только от времени. Если эти функции не все одинаковы, то расширение анизотропно. Уравнения Эйнштейна

могут быть записаны в таком виде:

Подчеркнем, что в левые части уравнений входят только величины но не сами величины Это связано с тем, что сопутствующее трехмерное пространство плоское и его кривизна (выражающаяся через равна нулю и в уравнениях отсутствует. Проведем анализ этих уравнений.

Предположим, что в некоторый момент члены в правых частях уравнений (18.3.2) — (18.3.5) много меньше, чем слагаемые в левых частях. Тогда мы можем рассматривать эти уравнения без правых частей, т. е. решение для пустого пространства. Такое решение получено Казнером (1921):

Соотношение (18.3.7) оставляет из трех величин только одну произвольную, являющуюся свободным параметром, и величины могут быть выражены через этот параметр (обозначим его

При этом решении Казнера система отсчета расширяется по двум направлениям и сжимается по третьему Единственным исключением является вырожденный случай Однако он соответствует плоскому -мерному пространству-времени Преобразованием координат метрика (18.3.1) в этом случае может быть приведена в метрике Минковского. В случае общего казнеровского решения, конечно, 0, хотя Заметим, что «вакуумное» решение Казнера не содержит изотропного решения Объем элемента сопутствующего пространства в решении Казнера меняйся, как

Теперь можно найти область применимости полученного реше Сравним, как меняются члены в правых частях уравнений (18.3.2) — (18.3.5) при движении по времени к сингулярности, и к бесконечности, . В левые части этих уравнений входят величины вида и т. п., имеющие порядок Пусть тензор энергии-импульса является гидродинамическим и уравнение состояния Вещество покоится относительно системы отсчета. Тогда величины, стоящие в правых частях уравнений, пропорциональны Мы видим, что для показатель степени при для правых частей уравнений (18.3.2) — (18.3.5) меньше по модулю, чем 2, т. е. меньше, чем для левых частей уравнений. Значит, при продвижении к сингулярности, правой частью можно всегда пренебречь по сравнению с левой и решение асимптотически не зависит от наличия вещества, что подчеркивают Лифшиц и Халатников (1963а, б). Эту стадию можно назвать «вакуумной».

При продвижении к члены, описывающие материю, уменьшаются медленнее, чем и наступает момент, когда этими членами нельзя пренебречь. Кончается период «вакуумного» решения. Подробнее этот поздний период расширения мы рассмотрим в следующей главе.