§ 4. Рабочие формулы с параметром z

В этом параграфе мы получим формулы, которые обычно непосредственно используются для обработки наблюдательных данных. Считают, что в настоящую эпоху и в прошлом, когда существовали отдельные объекты (галактики, квазары и пр.), давлением можно пренебречь по сравнению с плотностью Мы увидим далее, в гл. 5, что это действительно справедливо. Перепишем формулы (2.1.8) и (2.1.10), используя обозначение

Поделив одно уравнение на другое, получим

Удобно ввести новые переменные и

В этих переменных после несложных преобразований получим

Удобство безразмерных переменных параметра проявляется при решении задачи о прошлом Вселенной, когда известны параметры современного ее состояния и Из этих параметров находится единственный безразмерный параметр который входит в уравнение (3.4.3). Начальные условия суть тождества: по определению в настоящий момент. Уравнение легко интегрируется — переменные разделяются после подстановки

Приводим сразу решение, удовлетворяющее начальному условию:

В этой форме решение можно было получить прямо из уравнения «энергии» (2.1.9). Выразим все величины через

Из уравнения (3.4.1) для получим

Подставляя сюда выражение имеем

В ряде важных вопросов достаточно знать это дифференциальное выражение. Пусть, например, интенсивность какого-то процесса (условно — образование некоего вещества считается известной как функция плотности вещества и температуры во Вселенной:

Нет надобности вычислять и для того, чтобы взять интеграл. Удобнее воспользоваться как переменной интегрирования. Средняя плотность просто выражается через z (из определения в начале данного параграфа): Как мы увидим в следующем разделе, температура реликтового излучения меняется по закону так что легко написать Формула (3.4.7) позволит перейти к как переменной интегрирования:

причем (как уже не раз напоминалось) суть константы, сегодняшние значения. В дальнейшем при решении многих конкретных вопросов (излучение газа, поглощение излучения, рост возмущений однородности) будет широко использоваться именно как параметр, заменяющий время

С помощью (3.4.7) нетрудно найти и При этом время отсчитанное от сингулярности получится при подстановке соответствующего предела:

Этот интеграл берется точно, аналитически:

При

В общем случае, при обратить интеграл, т. е. выразить аналитической формулой как функцию не удается.

Значение интеграла при (т. е. полный возраст Вселенной, выраженный через дано формулами (1.3.2) и там же (рис. 3) приведена кривая зависимости от

Асимптотику легко усмотреть из интеграла (3.4.10) [а не из выражения (3.4.11)]; получим

Отсюда вытекают все общеизвестные следствия для асимптотики при малом и большом 2. Из (3.4.13), (3.4.5) и (3.4.1) имеем

Мгновенное значение также легко выразить через z и сегодняшнее

Наглядно подтверждается, что все локальные свойства приближаются к свойствам плоского мира, при приближении к сингулярности, т. е. при росте

Наконец, параметр 2 удобен и для получения формул, относящихся к наблюдаемым величинам — угловому диаметру далеких тел и болометрическому расстоянию (без вывода эти формулы приведены выше, в § 3).

Прежде всего, через выражается сегодняшний радиус мира. Для определенности будем говорить об открытой модели, (вычисления легко повторяются для закрытой модели,

Итак, для имеем в настоящее время [см. (2.2.2) и определение

а в произвольный момент

Выразим через безразмерную сопутствующую координату точк: наблюдения, т. е. найдем для галактики, имеющей красное смещение Из условия для света и находим

Соответствующий интеграл берется в элементарных функциях:

Видимая болометрическая (полная) светимость источника определяется количеством энергии, проходящей через единицу поверхности приемника в единицу времени. Для источника с координатой и абсолютной светимостью

Множитель в первых скобках в знаменателе есть площадь сферы радиуса в момент приема света (т. е. площадь сферы, на которую растеклось излучение), второй множитель в знаменателе определяет уменьшение интенсивности света из-за красного смещения, причем один множитель описывает уменьшение энергии каждого кванта, второй множитель уменьшение частоты прихода отдельных квантов к наблюдателю. Эту формулу можно также записать в виде

Такую форму записи можно интерпретировать следующим образом: в знаменателе входит, поскольку этой величине обратно пропорционален телесный угол, под которым виден источник; второй множитель дает изменение яркости, так как яркость пропорциональна (эта величина определяет энергию в единице телесного угла),

Астрономы используют не величину а звездные величины (десятичные логарифмы потока от объекта).

По определению

Напомним, что светимость объекта в астрономии характеризуется так называемой абсолютной звездной величиной. Абсолютной звездной величиной объекта называется его видимая величина на расстоянии десяти парсек . Если Учитывается энергия от источника во всем диапазоне длин волн, то говорят о болометрических звездных величинах.

Перейдем теперь в (3.4.19) к звездным величинам согласно (3.4.20). Подставим в это выражение (3.4.16), (3.4.18) и параметр ускорения [см. (1.2.6)], получим

Величина зависит только от абсолютной звездной величины источника (или, что то же, от и от Конкретно, используя определение получаем

где выражено в сек.

Формула (3.4.21) справедлива и для закрытой модели, т. е. когда Эта изящная формула была получепа Маттигом (1958) и используется для анализа соотношения звездная величина — красное смещение в космологии. В следующем параграфе мы получим другую формулу, пригодную для анализа объектов с небольшим красным смещением .