§ 18. Рождение гравитонов вблизи сингулярности

Гравитоны появляются в теории как неизбежное следствие ОТО (предсказывающей гравитационные волны) и квантовой механики (требующей квантования этих волн). Классическая теория — в данном случае ОТО - предсказывает, что скорость гравитационных волн равна скорости света, а следовательно, масса покоя гравитонов равна нулю.

В этом отношении гравитоны подобны фотонам (квантам электромагнитных волн) и нейтрино. Однако, как подчеркивает Грищук (1974), уравнения гравитационных волн не являются конформноинвариантными (в отличие от уравнений Максвелла для фотонов) относительно преобразования той усредненной крупномасштабной метрики, на фоне которой рассматривается (как ее малое коротковолновое возмущение) гравитационная волна.

В этой связи надо подчеркнуть, что скорость волны, равная скорости света, и равенство нулю массы покоя частиц — это условия необходимые, но недостаточные для конформной инвариантности соответствующего поля.

На примере скалярного поля Пенроуз (1964) и Тагиров и Черников (1968) показали, что, обобщая уравнения, написанные в плоском пространстве Минковского, на кривое пространство, можно по произволу получить конформно-инвариантное или неинвариантное уравнение. Но в уравнениях гравитационных волн нет произвола, когда заданы уравнения ОТО, прямым следствием которых они являются.

Оказывается, что уравнения гравитационных волн не конформноинвариантны. Для того чтобы убедиться в этом, рассмотрим плоскую гравитационную волну на фоне расширяющейся Вселенной (см. § 5 гл. 11).

Метрика

при условиях

приводит к уравнению для амплитуды

При большой частоте, имеет место квазиклассическое приближение

Как уже отмечалось (см. гл. 16), при этом плотность энергии гравитационных волн

т. е. меняется, как

Условие сохранения числа гравитонов в единице объема сопутствующего пространства даст плотность гравитонов в объеме физического пространства длина волны пропорциональна а, частота плотность энергии, в согласии с (23.18.5), есть Квазиклассическое приближение (23.18.4) соответствует тому, что гравитоны не рождаются и не исчезают. Но квазиклассическое решение является приближенным, и именно отступление от него и означает, что уравнение не конформно-инвариантно, потому что переход от метрики Минковского к эволюционирующей Вселенной (например, или является примером конформного преобразования.

Подобно тому, как это сделано в теории рождения других частиц [Зельдович, Старобинский (1971), см. также § 6 этой главы] ищем решение в виде суперпозиции двух встречных волн:

Подставляя это решение в уравнение (23.18.3) с дополнительным условием (согласно методу Лагранжа)

получим уравнение первого порядка для величины

и аналогичное (с заменой для Из этого уравнения видно, что в пределе для коротких волн постоянны и не связаны между собой. Однако при не постоянны, чистая рождает встречную -волну и усиливается сама.

В квантовом случае такой ситуации соответствует рождение пар гравитонов в изотропно расширяющейся космологической модели. Напомним, что для конформно-инвариантного скалярного поля (см. § 6 этой главы) рождение пар частиц происходило лишь в анизотропной метрике

и зависело от разностей типа т. е. обращалось в нуль при изотропном расширении.

Грищук (1974), подробно исследовавший рождение гравитонов, отмечает, что связь пропорциональна следовательно, исчезает не только при но и при

Такой закон расширения имеет место в том случае, если мир заполнен веществом с тогда

Но в случае след тензора энергии-импульса а также обращается в нуль и скаляр кривизны (хотя как и компоненты

Весьма вероятно, что отсутствие рождения гравитонов при не случайно.

Отсюда Грищук делает вывод, что, с учетом обратного влияния родившихся частиц на космологическое расширение, рождение гравитонов приблизит уравнение состояния к уравнению если вещество не имеет с самого начала такого уравнения состояния. Если первоначально мир заполнен веществом с то расширение происходит и гравитоны рождаются до тех пор, пока не будет достигнуто условие и уравнение состояния станет . В ходе последующего расширения роль гравитонов уменьшится и окажется пренебрежимо малой в настоящее время.

Предположим, однако, что начальное состояние соответствует жесткому уравнению состояния При этом происходит рождение гравитонов. Включим рождение гравитонов в момент сек, тогда в момент рождение, в основном, закончится и плотность рожденных гравитонов окажется порядка плотности материи. В дальнейшем, когда рождение гравитонов

выключается, плотность их падает, как тогда плотность обычного вещества при жестком уравнении состояния падает как Получился бы мир с недопустимым (по данным сегодняшних наблюдений) преобладанием гравитонов.

Подводя итог, можно констатировать, что рождение гравитонов происходит в изотропной космологической модели при и является аргументом против жесткого уравнения состояния вблизи сингулярности (см. § 9 этой главы).