§ 4. Предельный случай малой плотности вещества

Предельный случай малой плотности отличается особенной простотой. С той точностью, с которой можно считать можно пренебречь силами тяготения. Как уже отмечалось, в прошлом в таком мире обязательно был период, когда силой тяжести

нельзя было пренебречь (см. § 4 гл. 1). Мы, однако, не будем сейчас рассматривать этот период. Вернемся к периоду, когда имеет место и силы тяготения пренебрежимо малы.

Всю картину движения можно представить себе совершенно элементарно следующим образом: в плоском евклидовом пространстве в начальный момент из начала координат вылетает совокупность частиц, движущихся со всеми возможными скоростями разумеется, скорости эти не превышают скорости света, Массой частиц пренебрегаем, поэтому пренебрегаем и искривлением пространства, которое могло бы быть вызвано частицами. Следовательно, движение происходит в плоском (евклидовом) пространстве.

Рис. 6. Линия постоянного собственного времени модели Милна в «лабораторной» системе координат. Пунктир — линия постоянного лабораторного времени

Сопутствующее пространство этой системы, как можно видеть из (2.2.2), имеет отрицательную кривизну. На рис. 6 показано сечение пространства в «лабораторных» координатах . В этих координатах скорости частиц меньше с, так что все траектории — прямые и лежат внутри угла, образованного прямыми Итак, и длина окружности, проведенной через данную точку х с центром в равна Собственное время частицы, движущейся со скоростью и, выражается известной формулой специальной теории относительности:

Совокупность точек, в которых находятся частицы через одинаковое собственное время описывается уравнением

Это — уравнение гиперболы. В самом деле, чтобы построить линию в координатах рис. 6, мы должны задаться и х, найти сначала и затем, зная , выразить х через и . Получим

При фиксированном значении зависимость х от представляет

собой гиперболу, асимптотами которой являются линии (см. рис. 6). Итак, если назвать «скоростью» и путь, пройденный за единицу собственного времени:

получим величину, которая может быть и больше с. Выражение (2.4.4) полезно для популярного пояснения некоторых свойств космологических моделей Фридмана. Например, иногда спрашивают: известно, что галактики удаляются с тем большей скоростью, чем они дальше; существуют ли галактики, удаляющиеся от нас со скоростью больше скорости света? Ответ заключается в том, что такие скорости получаются при пользовании расстоянием, измеренным в лабораторной системе отсчета (т. е. в случае модели Милна в инерциальной системе наблюдателя), и собственным временем частицы, т. е. это не есть скорость перемещения частицы.

Для вычисления реальной скорости надо и расстояния и время измерить в одной и той же системе отсчета. При этом всегда Известно из лабораторных опытов, что мезон (пион) со временем жизни сек может пройти до распада путь значительно больший, чем см, когда его скорость близка к скорости света. Определяя трехмерное пространство из условия одинаковости собственного времени во фридмановском решении, т. е. сопутствующее пространство, мы получили пространство, отличающееся от трехмерного «лабораторного» пространства При плотности весь четырехмерный мир в целом (пространство-время) в пределе является плоским, четырехмерная кривизна его равна нулю, мир евклидов или, точнее, псевдоевклидов в силу особой роли времени (пространство Минковского Но его трехмерное сечение поверхностью не плоское.

Зельманов (1959а) подчеркивает, что пространственное сечение совокупности мировых линий внутри светового конуса на рис. 6, отвечающее постоянному лабораторному времени является конечным (пунктир на рис. 6): пространственная координата х ограничена значениями . Отсюда делается вывод, что само утверждение о конечности или бесконечности пространства не является инвариантным, ответ зависит от того, как выбрано «время» и «пространство».

Рассмотрим реальный случай, когда плотность хотя и мала, но конечна. В сечении вблизи границы находятся частицы, собственное время которых мало [см. (2.4.1)]. Поэтому плотность у края возрастает. Можно показать, что в сечении

плотность равна . Следовательно, даже при малом в сечении есть область, где нельзя пренебречь плотностью вещества, нельзя пренебречь искривлением пространства, вызванным гравитационным полем вещества. При малом, но конечном ввести «лабораторное время» во всем пространстве нельзя, парадокс с конечностью пространства исчезает.

Если же поставить вопрос об общем числе сохраняющихся частиц во Вселенной, то с самого начала нет никаких парадоксов: величина является инвариантом в ОТО. Выше уже говорилось, что в замкнутом мире число конечно: мы приводили конкретную формулу для в открытом мире бесконечно, и этот вывод не зависит от способа подсчета.

В сечении плотность постоянна, объем пространственного сечения бесконечен, Но и при рассмотрении сечения за счет того, что плотность частиц у края неограниченно растет, интегрирование по конечному объему дает бесконечное

В заключение историческое замечание. Описанное выше в этом параграфе решение называют моделью Милна. Действительно, Милн (1935, 1948) впервые ввел в рассмотрение совокупность частиц, не подверженных тяготению и одновременно вылетающих из одной точки со всеми скоростями.