§ 6. Сшивание возмущений при изменении уравнения состояния вещества

Момент рекомбинации сопровождается переходными явлениями в нарастающих возмущениях. Сахаров (1965) отметил, что эти явления приводят к своеобразной периодической зависимости конечной амплитуды возмущений от длины волны. Он рассматривал холодную модель Вселенной. Качественно те же явления имеют место и в горячей модели. Рассмотрим этот эффект в горячей модели. В первом приближении рассматриваем рекомбинацию как происходящую мгновенно и рассмотрим возмущение с длинами волн между длиной волны Джинса для нейтрального газа и длиной волны Джинса в плазме до рекомбинации. Соответствующий интервал масс:

Этот интервал (числа даны для очень широк. В короткий период времени около момента рекомбинации расширением можно пренебречь, т. е. вернуться к джинсовскому способу рассмотрения возмущений. Растущие и затухающие возмущения экспоненциально зависят от времени; обозначим где — плотность в момент рекомбинации. До рекомбинации решение имеет вид:

где время отсчитано от момента комбинации, рекомбинации

Коэффициенты могут быть найдены приравниванием в момент

В точном решении при учете расширения необходимо заменить на соответственно, на

Переход через сопровождается возрастанием амплитуды плотности в растущей моде после рекомбинации по сравнению с амплитудой плотности в звуковой волне до рекомбинации. Это возрастание по порядку величины равно где и характерная масса рассматриваемого возмущения. Этот рост связан со сшиванием скорости . Для данного возмущения плотности массовая скорость вещества в звуковой волне больше, чем в растущих возмущениях.

Отметим периодическую зависимость конечной амплитуды от фазы Эта зависимость определяется множителем в (10.6.3).

Каково происхождение и чем определяется фаза Чтобы выяснить это, необходимо вернуться к ранним фазам расширения, когда возмущения данного масштаба были в области неустойчивости, ниже линии на рис. 43, 44.

В этот период происходит рост одних и затухание других возмущений. В духе теории малых возмущений в расширяющейся Вселенной рассмотрим лишь нарастающую моду:

Она должна быть сшита со звуковыми колебаниями типа (10.6.1). Момент сшивки определяется условием (см. рис. 44)

В этот момент

Эти возмущения (10.6.5) сшиваются с решением

откуда следует определение

Чтобы найти фазу на момент рекомбинации, необходимо знать рост фазы в течение колебаний, т. е. в интервале от до Для этого учтем изменение длины волны и скорости звука при расширении:

Окончательно получаем

Важно, что зависит от длины волны возмущения, определяемой инвариантом или массой Если начальные возмущения задавать в виде гладкой функции то конечная амплитуда растущей моды в нейтральном газе имеет вид

Она промодулирована последним множителем, который и описывает колебания [Сахаров (1965)]. Грубо говоря, когда начальная стадия нарастания (при возмущений прерывается колебаниями (джрск) и рост продолжается после рекомбинации то конечная амплитуда возмущений велика, если в интервале укладывается целое число полуволн, и равна нулю, если укладывается полуцелое число полуволн. Нули амплитуды соответствуют следующим масштабам:

Конечно, все числа даны грубо, но очень важно, что периодическая модуляция амплитуды вплоть до нуля есть точный результат.

Необходимо пояснить еще одну тонкость. Колебания были взяты в виде стоячих волн:

Стоячие волны принципиально отличаются от бегущих волн, имеющих вид

или, в комплексной форме,

Для бегущих звуковых волн амплитуда растущей моды после рекомбинации имела бы вид

без модуляции. Если различие между стоячими и бегущими волнами столь велико, то почему же мы работаем со стоячими

волнами? Ответ состоит в том, что при переходе от области нарастания возмущений при к звуковым волнам при мы получаем именно стоячие волны без каких-либо независимых допущений.

В связи с явлением модуляции необходимо отметить следующее. Мы нашли амплитуду простой единичной моды (амплитуду фурье-компоненты) с определенным инвариантным волновым числом Для удобства мы ввели вместо к переменную размерности массы, связанную с и (вернее, с соотношением Эта масса инвариантна (не зависит от времени), так как Однако не следует думать, что спектр масс астрономических объектов может непосредственно отражать найденные колебания. Имеются другие процессы (тепловые, гравитационной неустойчивости), которые искажают влияние начального спектра на спектр масс астрономических объектов. Особенно сильно это влияние на найденные колебания. Эти вопросы более подробно рассмотрены в следующих главах.

Модуляция не может быть сильной для энтропийных возмущений, которые практически не вызывают движения вещества до рекомбинации. В этом случае просто Поэтому, в принципе, если подробное изучение спектра возмущений в области покажет присутствие модуляций или, наоборот, докажет отсутствие модуляций, то такой результат позволит выбрать между адиабатическими и энтропийными начальными возмущениями.

Недавние детальные расчеты Чибисова (1972а, б) (с учетом периода, когда рвещ и близки между собой, и с учетом немгновенной рекомбинации) показали, что определенная модуляция — не достигающая, однако, 100% — имеет место и в случае энтропийных возмущений. Для адиабатических возмущений принципиально при любых параметрах время рекомбинации и т. п.) есть серия длин волн, для которых теория предсказывает точное равенство нулю амплитуды получающихся позже нарастающих возмущений, иначе говоря, для адиабатических возмущений имеет место -ная глубина модуляции колебаний.

К сожалению, до сих пор нет никаких определенных данных (кроме неравенств), касающихся амплитуды возмущений. С учетом всех трудностей неясно, удастся ли когда-нибудь выяснить по модуляции природу начальных возмущений.