§ 2. Диссипативные процессы и затухание адиабатических возмущений

Вопрос о роли диссипативных процессов в эволюции адиабатических возмущений был впервые рассмотрен Силком (1968). Аналогичные расчеты, проделанные Дорошкевичем (1968), содержатся в его диссертации, но остались неопубликованными.

Простые зависимости и удобные формулы получены Силком для предельного случая, когда плотность излучения больше плотности вещества, длина волны меньше расстояния до горизонта, длина свободного пробега фотонов существенно меньше Амплитуда возмущений считается малой, т. е. рассматривается линейная теория. В действительности все эти предположения в большей или меньшей степени нарушаются в период вблизи момента

рекомбинации; в ряде последующих работ [Пиблс и Ю (1970), Чибисов (1972а), Филд (1973а), Вайнберг (1971)] теория диссипативных процессов была уточнена и численные результаты заметно изменились. Тем не менее полезно сперва рассмотреть элементарную теорию, область применимости которой ограничена перечисленными выше предположениями.

Итак, мы имеем дело со средой с уравнением состояния и скоростью звука условие означает также так что можно пренебречь ролью тяготения и рассматривать акустические волны. В макроскопическом рассмотрении причиной затухания звука являются вязкость и теплопроводность среды. В свою очередь вязкость и теплопроводность связаны с диффузией фотонов.

Рассеяние фотонов на электронах определяется формулой Томсона, сечение рассеяния равно

Это сечение не зависит от частоты при Рассеянием на протонах можно пренебречь в знаменателе!). Точно так же при можно пренебречь релятивистскими эффектами рождения пар и рассеянием фотонов на фотонах. Следовательно, в интересующей нас области длина пробега

Для сравнения с другими характерными длинами найдем массу обычной материи в шаре с диаметром обозначим ее

На момент рекомбинации эта масса равна

Итак, для масс меньше при соответствующем z затухание происходит практически мгновенно — достаточно одного свободного пробега фотонов, т. е. интервала меньше периода колебаний Для полного затухания. Для больших масс, мы вправе применять макроскопические понятия вязкости и теплопроводности, поскольку длина пробега фотонов меньше длины волны возмущения. Затухание за время одного колебания невелико, но это не исключает возможности существенного затухания в космологических условиях, так как при акустическая волна совершает много колебаний за характерное космологическое время.

Кинематическая вязкость отношение вязкости плотности и температуропроводность отношение, теплопроводности к теплоемкости единицы объема, имеют одинаковую размерность — ту же, что и коэффициент диффузии. Иногда называют кинематическую вязкость «коэффициентом диффузии скорости», а температуропроводность — «коэффициентом диффузии температуры». В предположениях, сделанных выше,

Составим уравнение для энергии колебания одной монохроматической волны (подразумевается энергия в единице сопутствующего пространства). Волна характеризуется «сопутствующим» волновым вектором связанным с текущим (мгновенным) значением волнового вектора соотношением

В интересующем нас периоде до рекомбинации, пренебрегаем единицей по сравнению с Уравнение для энергии имеет вид

где

В уравнении (10.2.6) фигурирует отношение потому, что при расширении без диссипации сохраняется именно эта величина, адиабатический инвариант. Затухание, зависящее от диссипации, приводит к результату

Так как то интеграл сходится; удобно записать

Затухание волны определяется всегда последней частью всякого рассматриваемого периода: увеличение длины свободного пробега

фотонов V периода колебаний пересиливает увеличение длины волны. V

Выберек в качестве конечного момент рекомбинации и (это возможно лишь при так как тогда вплоть до при больших необходимо учесть иной характер расширения при и учесть влияние теплопроводности). Интеграл дает определенное число, и ответ имеет вид

Величина в экспоненте зависит от длины волны возмущения; удобно от этой зависимости перейти к зависимости от массы, характерной для данной волны:

где

Таким образом, появляется еще одна характерная масса при можно пренебречь затуханием, при затухание имеет существенное значение, адиабатические возмущения практически исчезают: при при Поэтому величина - масса, при которой затухание происходит за одно колебание, — не играет роли. Любопытно, что по порядку величины длина волны возмущения, затухающего за космологическое время, есть среднее геометрическое длины свободного пробега фотонов и характерной длины это видно и сразу из условия

Соответственно где джинсовская масса. Весьма интересно отмеченное Силком совпадение характерной массы и массы крупных галактик.

График для показан на рис. 43 и 44. Однако мы увидим в конце этого параграфа, что в действительйости из-за процессов в период рекомбинации эта характерная масса, меньше которой

Кинематическая вязкость отношение вязкости плотности и температуропроводность отношение теплопроводности к теплоемкости единицы объема, имеют одинаковую размерность — ту же, что и коэффициент диффузии. Иногда называют кинематическую вязкость «коэффициентом диффузии скорости», а температуропроводность — «коэффициентом диффузии температуры». В предположениях, сделанных выше,

Составим уравнение для энергии колебания одной монохроматической волны (подразумевается энергия в единице сопутствующего пространства). Волна характеризуется «сопутствующим» волновым вектором связанным с текущим (мгновенным) значением волнового вектора соотношением

В интересующем нас периоде до рекомбинации, пренебрегаем единицей по сравнению с Уравнение для энергии имеет вид

где .

В уравнении (10.2.6) фигурирует отношение потому, что при расширении без диссипации сохраняется именно эта величина, адиабатический инвариант. Затухание, зависящее от диссипации, приводит к результату

Так как то интеграл сходится; удобно записать

Затухание волны определяется всегда последней частью всякого рассматриваемого периода: увеличение длины свободного пробега

фотонов и периода колебаний пересиливает увеличение длины волны.

Выберек в качестве конечного момент рекомбинации и (это возможно лишь при так как тогда вплоть до грек, при больших необходимо учесть иной характер расширения при и учесть влияние теплопроводности). Интеграл дает определенное число, и ответ имеет вид

Величина в экспоненте зависит от длины волны возмущения; удобно от этой зависимости перейти к зависимости от массы, характерной для данной волны:

где

Таким образом, появляется еще одна характерная масса при можно пренебречь затуханием, при затухание имеет существенное значение, адиабатические возмущения практически исчезают: при при Поэтому величина - масса, при которой затухание происходит за одно колебание, — не играет роли. Любопытно, что по порядку величины длина волны возмущения, затухающего за космологическое время, есть среднее геометрическое длины свободного пробега фотонов и характерной длины это видно и сразу из условия

Соответственно где джинсовская масса. Весьма интересно отмеченное Силком совпадение характерной массы и массы крупных галактик.

График для показан на рис. 43 и 44. Однако мы увидим в конце этого параграфа, что в действительйости из-за процессов в период рекомбинации эта характерная масса, меньше которой

возмущения диссипируют, вырастает за короткий период рекомбинации до Это увеличение отмечено на ряс. 43 и 44 линией с крестиками.

Можно предполагать, что в начальном спектре возмущений масса не выделена, амплитуда возмущений, соответствующих различным массам, плавно возрастает в сторону малых масс. Однако к моменту рекомбинации диссипативные процессы устраняют все коротковолновые адиабатические возмущения.

В теории первичных адиабатических возмущений обособление объектов с массами меньше может происходить лишь путем последующей фрагментации больших объектов.

Необходимо иметь в виду, что при еще до рекомбинации нарушается условие доминирования излучения. При этом теплопроводность становится важнее вязкости. Далее, сама рекомбинация происходит не мгновенно.

В ходе рекомбинации уменьшается плотность электронов примерно в 10 000 раз при изменении в 1,5 раза. Длина пробега фотонов пропорциональна . Значит, в ходе рекомбинации при изменении реещ в 3 раза в 10 000 раз увеличивается длина пробега фотонов. Согласно формулам для теплопроводности и вязкости эти величины растут в том же отношении. Затухание акустических волн усиливается — однако усиления затухания в 10 000 раз не происходит!

Дело в том, что начиная с момента, когда длина пробега становится равной длине акустических волн, нельзя пользоваться понятиями вязкости и теплопроводности. Для массы это условие достигается при т. е. при степени ионизации порядка Дальнейшее уменьшение степени ионизации уже не приводит к усилению затухания. Характерное время торможения частично ионизованного вещества в поле излучения с плотностью энергии есть

это время больше космологического. Практически выключается всякое взаимодействие вещества с излучением; поскольку на почти нейтральное вещество не действует давление излучения, начинается период движения вещества под действием одних только сил тяготения с начальным распределением плотности и скорости, зависящим от процессов на стадии до рекомбинации.

Итак, характерная масса, меньше которой все адиабатические возмущения затухают к концу периода рекомбинации есть [Чибисов (1972а, б), Пиблс и Ю (1970)]. Эта масса играет фундаментальную роль в теории образования галактик.