ГЛАВА 10. НЕУСТОЙЧИВОСТЬ В ГОРЯЧЕЙ МОДЕЛИ

§ 1. Условия роста возмущений

В настоящем параграфе соображения, развитые в предыдущей главе, применяются к ранним стадиям расширения, когда вещество полностью ионизовано, плотность излучения много больше плотности вещества и вещество связано с излучением.

В этот период Вселенная заполнена средой с уравнением состояния Скорость звука В расширяющейся Вселенной (а — масштабный фактор); для невозмущенного расширения независимо от значения сегодня. Если отношение общей плотности энергии фотонов, нейтрино и гравитонов к плотности энергии фотонов равно то

Плотность вещества равна

С помощью критерия Джинса найдем границу между областями

устойчивости и неустойчивости. Запишем возмущения в виде

где относятся к настоящему времени).

Критерий Джинса имеет вид подставляя значения и получим

Результат, согласно которому джинсовская длина волны порядка (с учетом того, что скорость звука порядка с), очень нагляден: есть расстояние, на котором успевает произойти выравнивание плотности за счет перепада давления. Инвариантными характеристиками возмущения (не зависящей от расширения) являются Джинсовская масса определяется как количество вещества (без излучения), содержащееся в объеме Мы должны выразить эти величины через используя приведенные выше формулы. В результате получим

Удобно изобразить расположение областей устойчивости и неустойчивости на плоскости Мы возьмем за абсциссу и за ординату Тогда формула для изобразится прямой линией на этой плоскости. Легко проверить, что ниже и справа от этой линии лежит область, неустойчивости, выше и слева — устойчивости (рис. 43, 44).

Ограничения в области очень малых масс (левый нижний конец прямой сейчас нас не интересуют. При больших очевидно, теория справедлива лишь до момента рекомбинации горизонтальная линия на рис. 43, 44). При условие выполнено вплоть до этому случаю соответствует рис. 43 (для При достигается при В общем случае произвольного условие достигается при В этом общем случае между (если и не зависит от Эта константа равна Значению соответствует рис. 44. После рекомбинации вступают в силу соображения предыдущей главы;

критическая джинсовская масса зависит только от давления самого вещества; возмущения плотности нейтрального вещества теперь, при не сопровождаются изменением плотности излучения.

Рис. 43. Расположение областей устойчивости и неустойчивости на плоскости при Линия отделяет область устойчивости от области неустойчивости. Линия ограничивает область эффективной диссипации возмущений (см. § 2 гл. 10). Массы находятся в области неустойчивости, массы в области устойчивости, возмущения с массой экспоненциально затухают со временем. В период рекомбинации увеличивается до (показано крестиками). Момент рекомбинации совпадает (при с моментом, когда сравниваются плотность вещества и плотность излучения. масса Джинса после рекомбинации. Она несколько уменьшается после сек (см. § 8 гл. 14). Волнистой линией условно обозначен момент вторичного разогрева вещества (см. гл. 14). Остальные обозначения даны в тексте.

Таким образом, при и при существенно различается сам характер движения, связанный с возмущениями плотности: при сжатие вещества сопровождается сжатием излучения, при нейтральное вещество сжимается на фоне равномерного невозмущенного распределения излучения. Давление излучения больше давления вещества в отношении числа фотонов к числу протонов и электронов (до рекомбинации) или к числу атомов водорода (после рекомбинации), что составляет около Не удивительно, что в момент, когда выключается влияние излучения на движение вещества, критическая джинсовская длина волны резко падает, в раз, а джинсовская масса уменьшается в раз, до величины порядка найденной в предыдущей главе.

Эволюция возмущения данной массы соответствует продвижению вдоль вертикальной линии.

При (область на рис. 43 и 44) возмущения, заданные в области неустойчивости, растут только до момента пересечения вертикальной линии с линией, соответствующей Позже возмущения всегда остаются в области устойчивости.

Рис. 44. Расположение областей устойчивости и неустойчивости на плоскости при Обозначения совпадают с рис. 43. В момент сравниваются плотность вещества и плотность излучения, в момент происходит рекомбинация. На интервале масса Джинса постоянна.

Для (область II) возмущения растут от момента сингулярности вплоть до наклонной линии, соответствующей Затем возмущения попадают в область устойчивости. Мы увидим далее, что в этой области происходят колебания постоянной или затухающей амплитуды. Рост возмущений снова продолжается после рекомбинации, когда вертикальная линия пересекает горизонталь Наконец, для возмущения всегда находятся в области неустойчивости и растут непрерывно.

Важной характеристикой является масса соответствующий размер (отнесенный к настоящему времени). Для для

Эти значения заведомо больше, чем наблюдаемый в настоящее время масштаб сильной неоднородности во Вселенной.

Какова скорость роста возмущений в области неустойчивости и как ведут себя возмущения в области устойчивости в случае радиационногдоминированной плазмы? В области неустойчивости можно пренебречь ролью давления. Поэтому для ответа на первый вопрос используем автомодельную технику. Пусть невозмущенная сфера расширяется согласно уравнению (см. §§ 6, 8 гл. 1)

т. е. плотностью так что

Пусть эволюция возмущенной сферы описывается уравнением, отличающимся от (10.1.5) постоянной а:

В линейном приближении это уравнение решаем методом последовательных приближений:

Справа в члене с а мы заменим на невозмущенное значение из (10.1.5). Получим

Относительные возмущения плотности равны

Возмущения плотности с длиной волны больше джинсовской (т. е. лежащие в области неустойчивости) растут пропорционально или если уравнение состояния

Общая плотность и плотность вещества рвещ связаны нелинейным соотношением Для малых возмущений тем не менее выполняется линейное соотношение Рвещ растет также пропорционально Обоснованием формул (10.1.5) и (10.1.6) является проведенное в разделе I точное релятивистское рассмотрение космологических решений с

В области устойчивости поведение возмущений подобно звуковым волнам. В жидкости с и с постоянной скоростью звука скорость и плотность возмущений связаны соотношением

Плотность энергии звуковых волн, которая является квадратичной функцией амплитуды, после усреднения на интервале, содержащем много длин волн, запишем в виде

При изменении параметров, медленном по сравнению с частотой колебаний в идеальной невязкой жидкости адиабатические инварианты сохраняются. Энергия волнового пакета или звуковая энергия в данном сопутствующем объеме пропорциональна частоте, т. е. Частота равна Наконец,

Следовательно, амплитуды плотности и скорости возмущений в звуковой волне постоянны до тех пор, пока можно не учитывать затухание из-за диссипативных процессов.