§ 3. Динамические свойства однородных моделей вблизи сингулярности

Обратимся теперь к проблеме эволюции однородных космологических моделей во времени.

Для однородных космологических моделей эта задача сильно упрощается по сравнению с общим случаем, так как уравнения Эйнштейна сводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Для получения этих уравнений в каждой точке

трехмерных пространственных сечений вводят тройки реперных векторов , где — те же самые величины, которые входят в выражение (21.1.4). После этого все трехмерные векторные и тензорные поля проектируются на эти реперы. Например:

Поднятие и опускание индексов производится с помощью матрицы или обратной ей матрицы

Проделав такое проектирование уравнений Эйнштейна, приходим к следующей системе обыкновенных дифференциальных уравнений [вывод их см. Шюкинг (1963)]:

Здесь обозначено:

К этому добавляется уравнение состояния, не нарушающее однородности (в том числе и для бесстолкновительных частиц).

Все величины в (21.3.3), (21.3.5) зависят только от времени и не зависят от пространственных координат, С — константы. Подставляя в значения структурных констант из табл. XVI, получаем уравнения, описывающие эволюцию во времени моделей разных типов.

Остановимся на анализе поведения моделей вблизи сингулярности. Поставим следующий вопрос: является ли асимптотика решения вблизи сингулярности вида (18.3.6) — (18.3.7) применимой и в общем случае анизотропных моделей с искривленным однородным пространством, т. е. представляет ли собой решение вблизи сингулярности расширение по двум направлениям и сжатие по третьему (рассматривается расширение модели от сингулярности)

в общем случае? Анализ этого вопроса проделан Лифшицем и Халатниковым (1963а, б), а затем Дорошкевичем (1968), Грищуком (1970), Эллис и Мак-Колламом (1969) и Мак-Колламом (1971).

Обратимся к уравнениям (21.3.3) — (21.3.5).

Уравнение (21.3.3) не содержит структурных констант определяющих тип модели по Бианки. Оно не отличается от уравнения для моделей с плоским пространством, подробно разобранных выше.

Уравнения (21.3.4) не содержат вторых производных по времени от искомых величин Они лишь накладывают ограничения на выбор возможных начальных условий. Эти уравнения [см., например, Петров (1966)] не участвуют непосредственно в интегрировании по времени: если они удовлетворяют начальным условиям, а остальные уравнения выполнены в четырехмерной области, то и уравнения (21.3.4) автоматически выполняются в той же области. Структурные константы существенно входят в уравнения (21.3.5). Рассмотрим эти уравнения.

Предположим, что асимптотика решения вблизи сингулярности носит характер (18.3.6), (18.3.7). Слагаемые в первом члене уравнений (21.3.5) имеют порядок Для тензора энергии-импульса можно повторить сказанное в § 3 гл. 18: имеется, вообще говоря, вакуумная стадия вблизи сингулярности, когда членами в правой части (21.3.5) можно пренебречь при так как они имеют меньший показатель степени в знаменателе, чем двойка.

Выполнение условий вида (18.3.6), (18.3.7) обеспечивает выполнение уравнения (21.3.3) и обращение в нуль первого члена уравнений (21.3.5). Что касается членов в (21.3.5), содержащих структурные константы то здесь, вообще говоря, могут появиться члены, имеющие более высокий порядок, чем Это связано с тем, что в режиме (18.3.6), (18.3.7) вдоль одного направления масштабный фактор входит с отрицательной степенью Пусть это будет, например, направление вдоль репера с индексом 1. Тогда появляется член вида где у — определитель матрицы Этот член имеет порядок Величина в скобках в показателе степени больше единицы, т. е. весь член имеет порядок больше, чем и уравнения (21.3.5) не выполняются. Для выполнения этих уравнений необходимо, чтобы была равна нулю константа соответствующая реперу с индексом с, вдоль которого масштабный фактор имеет отрицательный показатель степени в зависимости от Так, при отрицательный показатель степени вдоль направления репера с индексом 1 возможен лишь в том случае, если и т. д.

Теперь одного взгляда на табл. XVI достаточно, чтобы убедиться, что в первых семи типах моделей есть по крайней мере одна константа (последние три столбца таблицы), равная нулю. Это делает возможным установление при в этих типах

асимптотики вида (18.3.6), (18.3.7) с отрицательными показателями степени вдоль соответствующего направления.

Таким образом, подобная казнеровская асимптотика решения является общей для первых семи типов при условии

Разумеется, при приближении к сингулярности еще до установления асимптотического режима типа Казнера свойства решения уравнений Эйнштейна более сложные, чем для модели с плоским пространством. Подобно тому как в модели с плоским пространством, но с магнитным полем члены в уравнениях с тензором энергии-импульса запрещали асимптотику с отрицательным показателем степени вдоль поля (см. § 2 гл. 18), так и члены с кривизной пространства заставляют решение перестраиваться при до тех пор, пока не установится режим Казнера с в «разрешенном» направлении. Мы подробнее остановимся на промежуточных этапах в следующих параграфах.

Оговоримся сразу, что решения уравнений ОТО для первых семи типов моделей допускают в качестве частных вырожденных случаев и иную асимптотику вблизи сингулярности, отличную от казнеровской. Таковы, например, фридмановские решения. Но все эти случаи вырождены, требуют специальных начальных условий. Мы их детально рассматривать не будем, за исключением модели Фридмана (для рассмотрения этого случая есть особые причины, см. предыдущие разделы книги), отсылая за подробностями к цитированным в этом параграфе работам.

Типы моделей VIII и IX не допускают казнеровской асимптотики вблизи сингулярности, так как в этих моделях все структурные константы вида отличны от нуля. Эволюция моделей этого типа будет рассмотрена в следующих параграфах.