§ 3. Гравитационные волны в теории малых возмущений космологического решения

В гл. 11 была рассмотрена созданная Лифшицем теория эволюции малых возмущений, наложенных на однородное и изотропное (фридмановское) космологическое расширение.

Отмечалась возможность инвариантно классифицировать возмущения, разделяя их на скалярные (включающие возмущение плотности), векторные (вихревые) и тензорные.

Тензорные возмущения определены таким образом, чтобы из возмущения метрики и волнового вектора нельзя было построить ни скаляра, ни вектора. Этому соответствуют условия (16.2.4). Поэтому тензорные возмущения представляют собой гравитационные волны, а на ранней стадии, когда длина волны больше горизонта, тензорные возмущения есть «то, что с течением времени превратится в гравитационную волну». Рассмотрим подробнее законы эволюции тензорных возмущений и особенно этот переход «будущей» волны в «сущую» волну.

Проследим сперва за соотношением между горизонтом и длиной гравитационной волны. Длина горизонта порядка длина волны пропорциональна так что мгновенное значение где относятся к произвольному моменту Как известно, растет медленнее, чем как при как при и как при Поэтому для каждой волны можно найти Этакое, что при но при Например, для Удобнее, однако, пользоваться величинами, выраженными в сопутствующей системе координат и с параметром , заменяющим время:

В этой системе координат волновой вектор и постоянен, так же как и сопутствующая длина волны. Определение горизонта здесь очевидно: расстояние до горизонта просто равно , так как уравнение распространения света в этой системе есть Таким образом, естественно различаются период (горизонт меньше приведенной длины волны) и период ризонт больше приведенной длины волны). Так как растет с ростом то не подлежит сомнению, что сначала а потом

Для слабых гравитационных волн в радиационно-доминированном мире (см. § 5 гл. 11) существуют следующие решения:

причем в этом случае Решениями являются вещественная и мнимая части этого выражения в отдельности. Из решений такого типа, вместе с комплексно сопряженными, можно построить два линейно независимых решения:

Первое решение остается конечным вблизи сингулярности, Следовательно, конечные (или малые) возмущения метрики в сингулярном состоянии, соответствующие ведут к конечным (или малым) амплитудам гравитационных волн на поздней стадии, при

Подчеркнем, что говорить о плотности гравитационной энергии на ранней стадии, при принципиально невозможно.

Выше рассматривалась эволюция отдельной волны. При малой амплитуде возмущений метрики и соответственно малой амплитуде волн принцип суперпозиции имеет место. Поэтому результаты естественно обобщаются и на хаотическую суперпозицию волн. Условие конечности возмущений метрики вблизи сингулярности накладывает определенные ограничения на хаотичность [оно уже учтено в формуле (16.3.3)]. Оказывается, что этим условием отбираются стоячие гравитационные волны. В самом деле, возьмем самую общую линейную комбинацию комплексных решений для волн с данными и направлением

Условие вещественности этой комбинации даст Записывая

вещественные), получим

т. е. имеются две бегущие волны противоположного направления с произвольными неодинаковыми амплитудами. Такое решение вещественно и удовлетворяет уравнению для волн, но вблизи сингулярности его амплитуда (почти везде) бесконечна. Для того чтобы сформулировать условие ограниченности амплитуды при преобразуем предыдущую формулу:

Ограниченность требует и получаем

т. е. амплитуды двух встречных (бегущих) волн равны и вместе они образуют стоячую волну. Напомним, что такой же вывод получился для акустических волн (скалярных волн с изменением плотности) и привел к предсказанию модуляции амплитуды возмущений плотности после рекомбинации (см. § 6 гл. 10).