§ 2. Рекомбинационное равновесие и кинетика

Запишем равновесную формулу Саха:

для энергия ионизации так что статистические веса сокращаются, для указанной реакции заменяем индексы на на Численно получаем

Введем степень ионизации Плотность выражается

через температуру формулой На сегодняшний день следовательно, Таким образом,

В табл. V даны значения равновесной для (в пересчете на это соответствует

ТАБЛИЦА v (см. скан) Равновесная степень ионизации

Процесс рекомбинации рассматривали Зельдович, Курт, Сюняев (1968), Пиблс (1968), Сюняев, Зельдович (1970а).

В космологических условиях основную роль в поддержании ионизационного равновесия играют процессы фотоионизации и обратный процесс рекомбинации с излучением фотона, Формула Саха, естественно, не зависит от механизма установления равновесия, она имеет тот же вид, что и в плотном газе, где происходит ударная ионизация и рекомбинация тройным ударом,

Однако в космологических условиях для выполнения формулы Саха необходимо, чтобы спектр излучения был равновесным, планковским.

Кинетика установления равновесия и приближение фактических концентраций к равновесию определяются двумя факторами:

1) скоростью ионизации и рекомбинации и 2) отклонениями спектра от равновесного, планковского. Расчет показывает, что при планковском спектре излучения равновесие, соответствующее табл. V, имеет место вплоть до при при .

Запишем условие поддержания равновесия. Обозначим через вероятность рекомбинации время изменения в раз равновесной концентрации, концентрацию электронов. Очевидно, что

где — усредненная по максвелловскому распределению константа рекомбинации, Каплан, Пикельнер (1963). Далее, где космологическое время, поскольку

Условие поддержания равновесия имеет вид

Однако в действительности еще раньше сам процесс рекомбинации заметно меняет спектр излучения как раз в той области (в коротковолновой его части), которая участвует в обратном процессе фотоионизации и влияет на концентрации

Общее число фотонов весьма велико, и, следовательно, изменение спектра может коснуться лишь малой части фотонов. Но при прямой рекомбинации на основной уровень и в самом деле испускаются фотоны с энергией больше Так как рекомбинация происходит при то число таких фотонов в равновесии, пропорциональное оказывается малым, меньше числа электронов и протонов при данной температуре.

Важная для процесса часть спектра действительно существенно изменится вследствие рекомбинации в предположении, что рекомбинация происходит прямо на основной уровень, и, в свою очередь, это изменение спектра вызовет сдвиг (увеличение) концентрации электронов и протонов.

Каскадная рекомбинация, в принципе, смягчает отклонения, если вместо одного большого фотона получается много маленьких.

Однако в случае водорода радиационная рекомбинация неизбежно дает один фотон с энергией не меньше т. е. с энергией не меньше на один образовавшийся атом в основном состоянии; поэтому эффект задержки рекомбинации остается.

Кинетика определяется тем, что рекомбинация на возбужденные Уровни атома водорода происходит легко, так же как и ионизация возбужденных атомов. Равновесие поддерживается в течение долгого времени. Для этих процессов нужны фотоны с энергией или меньше, которых достаточно много в рассматриваемый период времени. Избавление от энергии возбуждения, соответствующей линии или даже большей, — это трудный шаг.

Если рекомбинация происходит прямо на основной уровень то фотоны имеют и немедленно ионизуют

другие нейтральные атомы. Даже в каскадных процессах

где - атом водорода в основном состоянии, энергия следовательно, поглощается атомом в основном состоянии, образуя при этом возбужденный который легко ионизуется основной частью излучения.

Для рассмотрения этого вопроса введем сумму концентраций свободных протонов, возбужденных атомов и энергичных фотонов нормированную на общую концентрацию протонов и а омов водорода:

Между различными компонентами, из которых состоит поддерживается термодинамическое равновесие:

Здесь и далее под буквами, обозначающими частицы, подразумевается концентрация данных частиц, число 39 400 в экспоненте есть в грубом приближении дается интегралом от функции Планка:

где

а Т определяется формулой

На поздних этапах несколько больше, чем Важно, что в свободные протоны являются наиболее обильными по сравнению с другими компонентами. Например, если мы зададимся полным

равновесием, и выберем для то получим следующие концентрации

Формула (8.2.7) может считаться определением тогда (8.2.8) есть физическое утверждение: отношение зависит от количества энергичных фотонов, но не от всего спектра. Заметим, что , но . Следовательно, в последующем можно отождествить степень ионизации с переменной

В кинетических уравнениях для взятых отдельно друг от друга, есть большое число быстрых процессов, как, например, и другие, которые сокращаются, когда мы переходим к уравнению для суммы это как раз и есть причина введения Эта сумма уменьшается только из-за двух процессов: 1) красное смещение из-за расширения Вселенной, преобразующее энергичные фотоны (у в фотоны которые уже не могут возбудить нормальный водород; 2) двухфотонный распад метастабильного -состояния [Киппер (1950), Спитцер, Гринстейн (1951)]. Скорость этого процесса Следовательно,

Нполи

В этом уравнении выражены через с помощью условий равновесия; равно Введение в правую часть уравнения описывает обратный процесс

Первый член в (8.2.9), описывающий красное смещение, относительно мал. Наконец, мы получаем

Отличие а и аравн малб при высокой температуре Позднее так что в скобках аравн можно пренебречь; в этот период имеет силу приближенная формула [Сюняев,

Зельдович (1970а), см. также Лонгейр, Сюняев (19696)]

Наконец, при уже больше нет равновесия между Результаты собраны в табл. VI для (сравните с таблицей для аравн). Вычисление дает при При малых температурах с точки зрения термодинамики возможен процесс и дальше Даже при более высоких температурах (но все же молекула термодинамически устойчива. Но кинетика образования и На столь медленна, что в однородной Вселенной при ее низких плотностях они не образуются.

ТАБЛИЦА VI (см. скан) Степень ионизации при уменьшении

Этот вопрос снова возникнет позднее в связи с образованием галактик. Рекомбинация водорода ведет к избытку коротковолновых фотонов по отношению к планковскому спектру. В табл. VII даны некоторые точки (подробности см. в оригинальных работах, упомянутых выше).

ТАБЛИЦА VII (см. скан) Избыток коротковолновых фотонов по отношению к планковскому спектру

Этот эффект относительно велик в области, где абсолютные потоки малы, т. е. мал как равновесный поток так и вычисленный — принимая во внимание рекомбинацию — поток Длины волн в таблице приведены в микронах, потоки излучения для настоящего времени.