§ 7. Квазиизотропное решение и гипотеза равнораспределения возмущений

Кажется заманчивой картина Вселенной, различные части которой вблизи сингулярности имеют слегка различную кривизну в один и тот же момент времени и вместе с тем расширяются подобно модели Фридмана.

Математическим выражением такой картины является квазиизотропное решение Лифшиц и Халатников (1963а, б)], которое для уравнения состояния описывается метрикой

Эта формула показывает, что решение содержит произвольную функцию пространственных координат Подставляя (11.7.1) в уравнения ОТО, можно найти и следующие члены разложения, соответствующие данному Задание дает полный набор начальных условий в данной задаче. Вблизи сингулярности главным является член Пренебрегая всеми другими членами, мы видим, что каждый элемент пространства расширяется изотропно с одной и той же постоянной Хаббла во всех направлениях. Пространственная кривизна, зависящая от произвольна, но мала по сравнению с компонентами тензора кривизны В тензоре кривизны, с помощью которого можно подсчитать распределение плотности энергии и скорость движения вещества, главным членом являются производные по времени от и учет их дает для выражения плотности вещества результат, совпадающий с

выражением для однородной модели Фридмана

В этом порядке плотность не зависит от координат, скорость вещества относительно выписанной системы координат равна нулю. Примером квазиизотропной модели является часть замкнутого мира, сшитая гладко, например, с плоским миром; мы знаем, что в обеих частях асимптотика плотности одинакова, соответствует (11.7.1).

Решение (11.7.1) показывает, что аналогичную операцию можно проделать и в более общем виде: можно соединить части искривленного пространства с неизотропной кривизной. При этом оказывается, что если в выражении для плотности энергии учесть члены следующего порядка разложения, то вместо (11.7.2) получим

Функция зависит от точнее, от ее пространственных производных. Очевидно,

Какие типы возмущений описывает метрика

Прежде всего, она содержит возмущения плотности (11.7.4), нарастающие т. е. в ней имеется первый тип возмущений — адиабатические возмущения. Кроме того, если написать для (11.7.1) тензор скоростей деформации, то часть тензора деформации с равным нулю следом соответствует гравитационным волнам ограниченной амплитуды. В решении (11.7.1) вихревая скорость отсутствует.

Следовательно, общее квазиизотропное решение подтверждает результат, полученный при исследовании малых возмущений (см. §§ 3—5 гл. 11): фридмановское поведение вблизи сингулярности при совместимо с возмущениями плотности и гравитационными волнами, но не с вихревыми возмущениями.

При обсуждении адиабатических возмущений и гравитационных волн было отмечено, что необходимо конечное (хотя и малое) возмущение метрики вблизи сингулярности для того, чтобы сегодня могли иметь место конечные возмущения плотности и конечная, не исчезающая амплитуда гравитационных волн.

Таким образом, если поставить вопрос о космологическом решети, не противоречащем современному состоянию Вселенной и минимально уклоняющемся от строго однородного решения при то ответом явится квазиизотропное решение.

При этом

Дальше асимптотика различна в зависимости от того, или В первом случае в области есть плоская промежуточная асимптотика В области асимптотика существенно связана с гиперболичностью метрики мира, т. е. с тем, что при больших поверхность шара растет, как

Поскольку ограничено только снизу, при любом целом I возможно любое действительное в целом спектр непрерывен, что и естественно для бесконечного объема.

В этом отношении гиперболический мир подобен плоскому миру и отличается от замкнутого. В плоском мире плоские волны и сферические гармоники представляют собой два равноценных способа описания возмущений. При одном и том же собственном числе возмущение можно описывать совокупностью плоских волн различных направлений или совокупностью сферических волн с различными Переход от одного способа описания к другому вполне аналогичен повороту системы координат

В системе плоских волн легко выразить статистическую однородность и изотропию пространства.

Система сферических волн имеет свои преимущества для описания картины, наблюдаемой из данной точки, которую удобно принять за начало координат.

Плоские волны с данным № различного направления статистически равновероятны. Отсюда следует, что при правильной нормировке угловых функций

равновероятны сферические волны, нормированные на одинаковую асимптотику на бесконечности, при

Итак, возмущение плотности равно

Функции одной скалярной переменной k (модуля волнового вектора) с различными индексами являются случайными функциями.

Однородность и изотропия Вселенной, включающие статистическую однородность и изотропию возмущений, означают, что с различными значениями индексов или с одинаковы, имеют одинаковый средний квадрат и независимы, не коррелированы между собой.

Возмущение плотности в точке наблюдения (в начале координат, зависит только от первого интеграла, от так как только

Движение относительно реликтового излучения вещества, находящегося в начале координат, записанное через компоненты скорости, зависит от следующих трех интегралов и только от них:

все для плоского мира,

Среднестатистические величины даются выражениями

где средний квадрат случайной функции, общий для всех (различных)

Положение наблюдателя нельзя считать случайным — возникновение Галактики, Солнца, цивилизации наиболее вероятно там, где

С помощью сферических функций наиболее удобно рассматривается вопрос о периодическом распределении тех или иных объектов.

Упорные поиски таких закономерностей проводит Бэрбидж. гл. 4 описаны рождение и гибель гипотезы о концентрации квазаров при В последнее время Бэрбидж и О’Делл (1972) с помощью анализа Фурье установили, что в распределении квазаров по величине красного смещения есть периоды

Мы не будем здесь обсуждать, насколько статистически значимы эти выводы (надежность их невелика), а обратимся к следующему вопросу. Какого рода периодичность совместима с предположением о космологической природе красного смещения спектров квазаров?

В этом случае красное смещение связано с расстоянием (сопутствующей координатой) формулой

Подсчитанное по всему небу (проинтегрированное по число квазаров зависит только от нулевой гармоники, Крайнее предположение, соответствующее выраженной периодичности и заключается в том, что

Таким образом, можно ожидать распределения

Максимальное значение а, при котором везде положительно, равно Потребуем, далее, чтобы период был равен при малых получим Тогда при период равен , а амплитуда составляет всего 0,05. Такой ход кривой существенно отличается от простой периодической зависимости Бэрбиджа и Разложение возмущений по сферическим волнам подсказывает другой способ обработки наблюдений. Нетрудно вывести и формулы для гиперболического мира.

В гиперболическом мире плоских волн нет, и только с помощью сферических волн можно безупречно ввести понятие о статистической однородности и изотропии Вселенной.

В выражении для скорости наблюдателя относительно реликтового излучения и было допущено упрощение: предполагалось, что возмущения представляют собой растущие моды движения вещества на фоне покоящегося излучения. Такое приближение вполне оправдано в случае волн, коротких по сравнению с расстоянием до горизонта, Длинные волны вовлекают излучение в движение вместе с веществом; при этом уменьшается и в пределе стремится к нулю скорость вещества относительно излучения, наблюдаемая как дипольная компонента в Детальный расчет этого эффекта, особенно в гиперболическом мире требует использования метода сферических волн.

Следует ожидать, что в ближайшее время метод сферических волн найдет широкое применение в теории возмущений однородной изотропной Вселенной.