§ 3. Ударная волна

Обратимся к приближенному решению, описывающему образование «блинов» в ходе роста неоднородностей плотности (§ 2 гл. 13). Величина а [см. формулу (13.2.4)] определяет момент, когда плотность формально достигнет бесконечности, по условию

Рассмотрим частицу, в которой а максимально, Обозначим ее лагранжеву координату Достаточно локального максимума, т. е. того, что больше, чем в соседних точках, хотя где-то вдали могут существовать и другие максимумы, часть которых выше атзх.

Вблизи можно разложить а как функцию в ряд:

Члены первого порядка отсутствуют потому, что в частице величина а максимальна. По той же причине следующий квадратичный член везде отрицателен. Поверхности с постоянным а представляют собой эллипсоиды с частицей в центре. Из соображений размерности следует, что где характерный размер — длина волны возмущений, избегающих затухания в период до рекомбинации.

В определенный момент подчиняющийся условию впервые в частице возникает бесконечная плотность. Затем сжимается вещество со все меньшим и меньшим значением а. Нетрудно убедиться, что все три оси эллипсоида, в котором достигнуто условие , по порядку величины равны

масса вещества в эллипсоиде растет пропорционально

Но эллипсоид имеет три (по порядку величины) одинаковых оси только в -пространстве (в лагранжевых координатах). В действительности в эйлеровых координатах -пространстве) эллипсоид сжат в том направлении, в котором деформация происходит всего быстрее. Это направление, вдоль которого скорость деформации дана величиной (причем см. гл. 13, § 2).

Направление может и не совпадать ни с одной осью эллипсоида.

Переход от лагранжевых координат к эйлеровым сопровождается сжатием эллипсоида. При сжатии эллипсоида по любому направлению получается (в том приближении, в котором плоская фигура — эллипс, которую мы называем «блином».

На каждом элементе поверхности «блина» сжатие происходит независимо от того, как развиваются события на соседних элементах, потому что все градиенты в направлении нормали гораздо больше градиентов в плоскости «блина». Поэтому целый ряд локальных характеристик — законы изменения давления, плотности, температуры — можно рассматривать в одномерном приближении; см. Зельдович (19706), Сюняев, Зельдович (19726).

Рассмотрим одномерную картину сжатия вещества в «блин». Общее решение одномерной задачи выписано в § 2 гл. 13. Здесь мы только предположим, что возмущение задается в виде одной синусоидальной волны и Решение тогда перепишем в виде

Для плотности получаем выражение

Итак, впервые плотность обращается в бесконечность в плоскости в момент Соответствующее значение красного смещения z назовем (далее везде в этом параграфе красное смещение, не путать с координатой Для упрощения везде вместо будем писать просто читатель сам легко внесет поправку). С учетом этого

При возникают две ударные волны, рапространяющиеся симметрично от начала. Сперва рассмотрим случай мгновенного охлаждения сжатого газа. В этой ситуации плотность его бесконечна, поверхность ударной волны не отходит от плоскости

Найдем закон, по которому растет количество сжатого вещества и давление ударной волны. Ударная волна и сжатое вещество расположены при откуда

Это уравнение имеет нетривиальное решение при Удобно ввести величину Эта величина, являющаяся разновидностью лагранжевой координаты, есть отношение массы, заключенной между началом и данным к полной массе в половине ячейки периодичности. Получим

При отсюда)

Далее, при В сделанных предположениях за бесконечное время все вещество преходит через волну но лишь асимптотически.

Нужно особенно отметить, что ударному сжатию подвергается вещество, которое еще не успело достичь бесконечной плотности за счет сближения соседних слоев, и даже то вещество, которое расширяется до попадания в ударную волну. Приводим таблицу, характеризующую динамику сжатия в сделанном приближении.

ТАБЛИЦА XI (см. скан) Доля вещества, прошедшая через ударную волну

Найдем скорость, с которой вещество сталкивается с ударной волной, плотность вещества перед ударом и возникающее давление. Несложный расчет дает

Здесь введено обозначение т. е. это длина волны возмущения в характерный момент средняя плотность в этот момент.

Характерной особенностью приведенных выше формул является поведение описываемых ими величин при малых (при малых малых вскоре после образования ударной волны:

Это не значит, что давление строго постоянно, его производная вовсе не равна нулю. Важно, что нет степенной зависимости давления от давление не равно нулю и не равно бесконечности в начальной стадии. С течением времени давление уменьшается и

(кликните для просмотра скана)

Теперь рассмотрим противоположный предельный случай другого теплового режима — полное отсутствие теплоотдачи.

Картина движения после появления волны уже не может быть построена элементарно, без численного расчета, даже в сделанных выше упрощающих предположениях. Просто можно найти лишь асимптотику начала сжатия, По-прежнему давление имеет определенное предельное значение, которое, однако, меньше, чем в первом случае в 0,92 раза; в раза больше количество вещества, сжатого ударной волной, на тот же момент времени, так как волна теперь отделяется от плоскости и идет навстречу падающему веществу.

Рис. 48. Распределение плотности в адиабатическом варианте в момент достижения ударной волной координаты Без охлаждения, в адиабатическом случае, плотность после сжатия не обращается в бесконечность.

Средняя плотность сжатого вещества в 12 раз больше плотности вещества перед фронтом волны. На рис. 46 показано распределение плотности в момент т. е. как раз в момент достижения в плоскости На рис. 47 и 48 показано распределение плотности в момент когда сконденсировалась приблизительно

четверть вещества. При этом рис. 47 относится к случаю быстрого охлаждения, а рис. 48 — к адиабатическому случаю.

Уже упоминалась характерная особенность адиабатического случая, а именно отрыв волны от плоскости симметрии. Вначале (при путь, пройденный волной, мал, притом мал не только по сравнению с размером ячейки периодичности, но и по сравнению с расстоянием, составляющим долю от половины ячейки.

В самом деле, средняя плотность за фронтом (т. е. плотность сжатого вещества) равна Значит, толщина слоя, отнесенная к размеру ячейки периодичности (к расстоянию между соседними сжатыми слоями), равна

Из этих формул получим, что, когда доля вещества, сжатого ударной волной, равна 10% это вещество занимает долю объема это значит, что его плотность в 300 раз больше средней. Для 30% получим соответственно

Подчеркнем, что расчет проделан в предположении строгой адиабатичности, без учета потерь тепла. Истинный объем а (при данном типе возмущения) может быть только меньше, а плотность — больше приведенных величин.

По мере дальнейшего хода процесса включается взаимное притяжение слоев сжатого вещества.

Давление на фронте ударной волны создается за счет потока количества движения падающего вещества. Давление в средней плоскости между двумя волнами (при в рассматриваемом случае больше давления ударной волны на величину гравитационного давления, равного

где а — поверхностная плотность всего слоя (от до с учетом вещества слева и справа от начала координат).

По мере увеличения количества сжатого вещества увеличивается отношение гравитационного давления к давлению ударной волны.

Численные расчеты Дорошкевича и Шандарина (1973) показывают, что при процесс практически замирает, сжатое вещество удерживается тяготением, падение вещества приостанавливается. Понадобилось бы нереально большое время для того, чтобы волна сжала все вещество, а между тем в сжатом веществе начинаются новые процессы излучения, рождения звезд и т. д., не учтенные в схематической картине одномерного сжатия.