§ 2. Корреляционная функция и размеры самогравитирующих объектов

Фурье-разложение очень удобно для динамических расчетов. Но функция не является таким ответом, который согревает душу астрономов. Астроном имеет право спросить, каково должно быть число и форма скоплений и других объектов, которые следуют из тех или иных теорий развития возмущений в расширяющейся Вселенной. Тут теоретик должен извиниться: точная теория образования скоплений требует сложных нелинейных расчетов, выполнить которые сегодня невозможно. Все, что может сделать теоретик сегодня более или менее точно и последовательно, — это рассчитать эволюцию возмущений в периоды, когда возмущения еще малы.

Если астроном не потеряет интереса к теории уже на этой стадии обсуждения он спросит о неоднородностях плотности, не

превышающих 10—20% от средней, к которым линейная теория применима. Но даже для этих (значительно менее интересных) неоднородностей астроном хочет знать их форму и амплитуду в тот или иной момент времени, а не довольно абстрактную функцию

Так возникает проблема перехода от фурье-языка к описанию пространственного распределения отдельных тел. Для отдельной реализации ответ дается немедленно [см. (12.1.1)]. Но при статистическом подходе вопрос, какова функция , не имеет смысла. Мы можем говорить о средних величинах, усредненных по множеству реализаций. В космологической задаче усреднение по лизациям означает рассмотрение множества одинаковых объемов, расположенных повсюду в однородной Вселенной. Иными словами, нахождение усредненных по реализациям величин означает нахождение средних по пространству характеристик возмущений во

Вселенной.

Очевидно, по определению т. е. среднее значение равно нулю в каждой точке пространства. Имеет смысл говорить о среднем квадрате Используя свойства фурье-рядов, легко показать, что

Рассмотрим среднее по всем реализациям и одновременно произведем переход к пределу а от суммирования перейдем к интегрированию:

Величина 62, усредненная по реализациям, не зависит от координат. При нормальном законе распределения для закон распределения для также нормальный:

В левой части стоит вероятность данного значения 6 в любой данной точке. Величина очевидно, одинакова для всего пространства и зависит только от времени.

Эти формулы характеризуют амплитуду неоднородностей, но ничего не говорят об их пространственной структуре. Характеристикой пространственной структуры неоднородностей является корреляционная функция Она определяется формулой

Каков смысл корреляционной функции? Представим себе пространство, разбитое на области с и средним размером Выберем точку внутри области, где так что При удалении от этой точки на расстояние меньше мы с большой вероятностью остаемся в области Поэтому при

Произведение положительно (с вероятностью больше половины, а значит, и в среднем), если

Благодаря квадратичности выражения области, где отрицательно, дают вклад того же положительного знака в Значит положительно при при меняет знак.

Итак, смысл корреляционной функции таков. Пусть в некоторой точке мы задали Тогда средняя кривая, описывающая поведение

6 в окрестности данной точки , задается

Индекс после вертикальной черты означает, что средняя кривая задается при условии Заметим также, что поскольку все возмущения эволюционируют со временем, то и вообще говоря, зависит от времени. Для нашего анализа эта зависимость сейчас не важна, и поэтому мы ее явно не выписываем.

Мы определили 6 так, что Отсюда следует, что равно нулю и среднее по объему значение корреляционной функции. В самом деле, запишем и найдем

Второй (внутренний) интеграл равен нулю, поскольку он берется по всему объему, а в этом случае выбор начала отсчета не играет роли. Итак,

В однородной и изотропной в среднем Вселенной функция корреляции зависит только от абсолютной величины расстояния но не от выбора начала отсчета и не от направления вектора Поэтому, опуская имеем

Значит, обязательно должна быть знакопеременной функцией. По определению благодаря выбору знаменателя в В области С другой стороны, где-то должна быть отрицательной. Естественный вывод заключается в том, первый нуль функции т. е. то наименьшее значение при

котором как раз и дает средний размер области,

Не будем скрывать от читателя, что выбор определения корреляционной функции продиктован также и удобством ее вычисления, наряду с удобными для физической интерпретации свойствами.

Дадим выражение через спектральную функцию характеризующую амплитуду волн различной длины:

Зная можно найти Если сконцентрировано в узком интервале около некоторого значения то, как видно из (12.2.4), т. е. есть половина длины волны, соответствующей Теперь можно высказать первое предположение относительно момента, когда значительная доля массы перешла в гравитационно связанные объекты в ходе эволюции первоначально малых возмущений в расширяющейся Вселенной, а также относительно массы таких объектов. Предположим, что спектр возмущений таков, что растущая функция времени (в противном случае возмущения не нарастают, мы уже знаем — см. гл. 10, - что для определенных возмущений на определенных стадиях расширения Вселенной это возможно). Когда в линейной теории достигает порядка единицы, то в первом приближении грубо можно считать, что процесс распада вещества на отдельные части произошел. В этот момент найдем корреляционную функцию и, в частности, определим положение первого нуля. Характерная масса частей, на которые разбилось вещество, порядка Ясно, однако, что при грубой становится линейная теория роста и эта «грубость» складывается с «грубостью» определения характерной массы по нулю корреляционной функции. Запишем выражение для [см. (12.2.1)] в виде

Задаваемая этой формулой функция безразмерна. Если у функции есть широкий максимум при (интервал порядка 1), то по порядку величины

Еще лучше от к перейти к соответствующей массе и определить так, что

Первый нуль корреляционной функции примерно определяется уравнением это соответствует половине длины волны моды при Теория зависимости от времени функции была развита выше, но проблема выбора начального значения в или в при остается нерешенной. Эта проблема спектра начальных возмущений (откуда они берутся, каковы они?) будет кратко обсуждаться в § 9 гл. 23.