§ 2. Закон эволюции. Критическая плотность

Рассмотрим шар радиуса содержащий массу и найдем ускорение частицы, находящейся на поверхности шара. На частицу действует сила притяжения со стороны

Подставив сюда получим

т. е.

Уравнения (1.1.4) и (1.2.2) образуют систему, полностью определяющую изменение со временем (и для прошлого, и для будущего) всех локальных свойств Вселенной. Как и следовало ожидать, в эти

уравнения не входит радиус произвольно выделенной массы и не входит также сама величина

Для того чтобы представить наглядно общий характер расширения вещества, удобно, тем не менее, пользоваться величинами

Уравнение движения (1.2.1) можно один раз проинтегрировать. Умножая его на получим

Это уравнение имеет вид закона сохранения энергии: первый член слева — кинетическая энергия единицы массы, второй член слева (отрицательный) — ее потенциальная энергия, константа А есть полная энергия единицы массы на поверхности шара.

Будем считать известными значения в момент и зададимся некоторым при этом Мы знаем также значение в момент Таким образом, можно определить вначение константы в правой части (1.2.3). Получим

Итак, из (1.2.3) следует:

Это уравнение можно проинтегрировать. Решение мы приведем в § 1 гл. 2 (табл. I), но весьма поучительно дать качественный его анализ.

Легко представить себе общий характер решения (1.2.4). В настоящее время положительно. Следовательно, в прошлом было меньше, а значит, было больше, чем в настоящее время.

Следовательно, в прошлом обязательно было больше, чем в настоящее время, и был момент, когда

Предсказание для будущего зависит от знака скобки во втором члене.

Обозначим

а отношение через

Заметим здесь же, что в космологии часто употребляется и другая величина: носящая название параметра ускорения. Это название связано с тем, что, как легко убедиться из (1.2.1), (1.2.4) и (1.2.5),

Рис. 1. Изменение со временем расстояния между двумя точками, когда плотность больше, чем критическая плотность сегодняшний момент и — моменты бесконечной плотности, момент максимального расширения.

Если то скобка в (1.2.4) положительна. Значит, по мере увеличения будет достигнуто такое значение, когда вся правая часть (1.2.4) обратится в нуль. В этот момент расширение прекратится и сменится сжатием (рис. 1).

Если то расширение будет продолжаться неограниченно. В пределе при имеем из (1.2.4)

Рис. 2. Изменение со временем расстояния между двумя точками, когда плотность меньше, чем критическая плотность

Соответствующая кривая показана на рис. 2. Как уже отмечалось, расстояние между любой парой объектов меняется пропорционально т. е. проходит через максимум в случае рис. 1 и неограниченно увеличивается в случае рис. 2. В первом случае рис. 1) постоянная Хаббла уменьшается от при при при Во втором случае ( рис. 2) уменьшается, оставаясь всегда положительной величиной, при (асимптотически точно, без какого-либо численного коэффициента).

Какой случай в действительности имеет место: или

Для ответа надо, очевидно, знать значения для настоящего момента.

Подробно мы рассмотрим современное состояние вопроса об определении и Н из наблюдений в § 9 гл. 3. Здесь же только коротко укажем, что наиболее вероятное значение постоянной Хаббла лежит в интервале . Соответствующее значение критической плотности Достаточно надежно установлено, что средняя плотность материи во Вселенной не меньше чем Эта величина определяется массой материи, входящей в галактики, и не учитывает массы межгалактического вещества. Если между галактиками нет значительной плотности материи, то и в действительности осуществляется случай рис. 2.

Не исключено, однако, что на самом деле плотность вещества больше — в частности, за счет межгалактического ионизованного водорода или других труднонаблюдаемых видов материи (подробнее см. гл. 7, 8, 16).

В заключение параграфа сделаем следующую важную оговорку. Мы рассматривали эволюцию элемента объема вещества Вселенной под действием сил тяготения. При этом предполагалось, что космологическая постоянная А в уравнении тяготения равна нулю. О космологической постоянной, ее смысле и возможности ее отличия от нуля говорится в §§ 1, 2 гл. 4. Отличие А от нуля может повлиять на поздние стадии расширения мира. Однако в настоящее время нет ни теоретических, ни сколько-нибудь убедительных наблюдательных данных в пользу отличия А от нуля. Поэтому мы будем считать АО на протяжении всей книги, исключая §§ 1, 2 гл. 4, где подробно разбираются те следствия, которые получаются при А, отличной от нуля.