Главная > Строение и эволюция Вселенной
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

ГЛАВА 13. НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ И ТЕПЛОВАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ

§ 1. Возмущения в пылевидной среде; задачи, допускающие точные решения

Существуют три различных пути подхода к нелинейным задачам. Один путь заключается в точном решении частных задач со специальными начальными условиями. Примером таких задач могут служить сферически-симметричные возмущения. Второй путь состоит в построении приближенного метода, экстраполирующего линейную теорию. Этот метод очень мощный, но надо всегда помнить о его ограниченной точности. Преимущество этого метода состоит в том, что он применим к общему случаю несимметричных возмущений. Наконец, третий путь состоит в выяснении качественных свойств общего точного решения; сюда относится, в частности, вопрос об особых точках решения и об асимптотических законах вблизи особых точек.

Именно сочетание всех трех методов дает наиболее надежные результаты. Хорош тот приближенный метод, который совпадает с точным решением по крайней мере в каком-то специальном случае и имеет правильную асимптотику вблизи особых точек.

Случай сферически-симметричных возмущений может быть проанализирован точно, потому что влияние соседних возмущений равно нулю. Второй метод учитывает приливное действие со стороны соседних возмущенных областей, но за это приходится расплачиваться тем, что он является приближенным. Во всех случаях мы будем пренебрегать силами давления, считая

В простейшем сферически-симметричном случае шар, который является частью фридмановского мира с определенной величиной рассматривается на фоне целого фридмановского мира с другой величиной [с дырой для возмущенного шара — наподобие швейцарского сыра; сравнение, принадлежащее Эйнштейну и Штраусу (1945)].

Если то возможны два случая:

В первом случае возмущенный шар также расширяется до бесконечного радиуса и нулевой плотности, связанный объект не образуется

Во втором случае, который является более интересным, возмущенный шар ведет себя как замкнутый мир Фридмана. Следовательно, мы можем утверждать, что в некоторый момент времени плотность в возмущенном шаре достигнет минимума, расширение прекратится и сменится сжатием. Формально это сжатие приведет к бесконечной плотности при Фридмановский мир с сжимается в точку весь одновременно, и поэтому предположение всегда и везде в этом случае неправдоподобно. Реально при достаточно большой плотности давление даже холодного вещества уже существенно. На краю шара возникает волна разгрузки, решение становится неоднородным. Но гораздо реальнее случай, когда начальное состояние не строго симметрично или, даже будучи сферически-симметричным, неоднородно, т. е. плотность зависит от радиуса, В этом случае также при движении с в некоторый момент возникает бесконечная плотность; отличие заключается в том, что возникает не сразу во всем объеме, а на некоторой поверхности или в одной частице вещества. В этот момент возникают ударные волны, и в последующем вещество, сжатое ударной волной, имеет До ударной волны мы полагали энтропию равной нулю, а уравнение состояния таким, что После ударной волны и возникнут колебания вокруг положения равновесия при конечной плотности. При колебаниях за счет диссипативных процессов кинетическая энергия переходит в тепло, амплитуда колебаний уменьшается, часть массы может быть выброшена и предельным состоянием возмущенного шара является равновесная конфигурация [Зельдович, Каждан (1970)].

Полная энергия «части замкнутого мира Фридмана» отрицательна; в момент остановки при смене расширения сжатием равна нулю кинетическая энергия (давлением пренебрегаем, пылевидное вещество), так что полная энергия равна в этот момент потенциальной энергии:

В равновесии при той же полной энергии по теореме вириала тепловая энергия равна — потенциальная энергия равна

Следовательно,

откуда [Пиблс (1967а)].

Этот результат является оценочным (Пиблс пренебрегает потерей массы). В равновесной конфигурации плотность не постоянна по радиусу, и поэтому и рравн — некоторые эффективные величины.

Для более подробного анализа необходимо полное изучение сжатия после момента остановки. Это нетрудно сделать численными методами, однако результаты уточнения сильно зависят от конкретных предположений о нарушениях точной симметрии и однородности распределения плотности.

Можно предсказать, что если имеет максимум в центре, то при сжатии возникает ударная волна и небольшая часть вещества сбрасывается с положительной энергией. Отрицательная энергия остающегося гравитационно связанного вещества увеличивается по абсолютной величине. Также увеличивается и равновесная плотность рравн [Зельдович, Каждан (1970)].

Поучительно сравнить результаты нелинейной теории с «наивными» результатами линейной теории. Простой расчет (опущенный здесь) приводит к следующим формулам нелинейной теории для возмущенного шара и значения в невозмущенном мире.

В момент когда радиус возмущенного шара максимален, возмущенная плотность равна (напомним, что мы считаем возмущенный шар однородным)

В линейной теории которая дает правильную асимптотику при получаем при

Следовательно, в плоском мире малые сферически-симметричные растущие возмущения (с асимптотикой при прекратят расширение при в момент и приведут к коллапсу, заканчивающемуся (формально) бесконечной плотностью вещества возмущенного шара, при (см. таблицу).

В случае плоского мира Фридмана с заполненного пылевидным веществом, полная энергия каждой невозмущенной (сферической) части равна нулю и, следовательно, каждое растущее

ТАБЛИЦА X (см. скан) Значение в линейной и нелинейной теориях

возмущение (мода) с имеет отрицательную энергию и приведет к прекращению расширения и коллапсу с течением времени.

В этом отношении случай сферических возмущений в мире с качественно отличается от случаев с При невозмущенная энергия положительна, так что существует критическая амплитуда возмущений которая делает в шаре При будут возникать гравитационно связанные объекты, при такие объекты не возникают.

Интересно рассмотреть ранние моменты в решении, когда невозмущенная плотность велика, а возмущения малы, и найти ответ на вопрос, какова критическая величина возмущения плотности, приводящего к возникновению гравитационно связанного тела, т. е. к прекращению расширения хотя бы при

Для вычисления надо взять нарастающую моду возмущений плотности в (11.3.1) и связанную с ней моду скорости (члены с в выражениях для и добавить эти возмущения к и хаббловской скорости расширения шара. В согласии с нашей моделью однородных возмущенных шаров и выбирают так, что внутри шара снова применимо решение Фридмана, но с несколько отличной от окружающего вещества. Величина соответствует Критическая величина возмущения оказывается равной

Полезно запомнить, что критическая величина возмущения (т. е. возмущение, которое приведет к в нелинейной теории) определяется условием при при расчете по линейной теории. Для линейная амплитуда при необходимая для того, чтобы в нелинейной теории произошла остановка расширения, лежит в пределах Если

известна средняя амплитуда возмущений на ранние моменты времени, то теперь легко определить долю сконденсировавшегося вещества согласно оценкам нелинейной теории для сферических возмущений. Для очевидно, асимптотически Действительно, половина возмущений имеет и сконденсируется, половина и не сконденсируется. Для или говорить о не особенно интересно, так как эта асимптотика относится к далекому будущему и не характеризует конденсацию материи в объекты в наше время. Асимптотика имеет смысл лишь для поскольку в этом случае доли вещества, сконденсировавшегося в настоящее время и при одинаковы, так как в линейной теории возмущения не нарастают на поздних стадиях.

Общая формула для довольно сложна. Пусть в некоторый момент в прошлом, соответствующий красному смещению средняя амплитуда возмущений есть 60. Тогда доля сконденсировавшегося к нашему времени вещества

где определяется (13.1.5).

Еще раз напомним, что все оценки этого параграфа основывались на теории сферических возмущений в веществе с

1
Оглавление
email@scask.ru