§ 6. Квантовые ограничения для модели «перемешанного» мира

Мы уже неоднократно отмечали, что ОТО заведомо неприменима в масштабах меньших, чем см, ибо при этом существенны квантовые флуктуации метрики (подробнее см. §§ 4—7 гл. 23). В частности, если какой-либо масштаб замкнутой однородной модели мира меньше то описывать поведение модели в этом масштабе уравнениями ОТО некорректно. Однако в работе Мизнера (1969б) высказано утверждение, что в случае модели перемешанного мира этого ограничения нет и ОТО применима для сколь угодно малых масштабов, вплоть до истинной сингулярности. Этот вывод получен Мизнером из анализа квантования расширения мира в целом (подробно см. следующий раздел). Здесь мы отметим только, что им показано, что если при больших масштабах мира, много больших состояние расширения соответствует большому квантовому числу т. е. описывается классическими неквантовыми уравнениями, то по мере продвижения к сингулярности (в прошлое) число является адиабатическим инвариантом и, следовательно, с уменьшением масштабов роль квантовых эффектов не возрастает и никакого предела применимости ОТО нет.

Мы считаем, что несмотря на это замечание Мизнера, является все же пределом применимости неквантовых уравнений ОТО.

Дело в том, что в масштабах см существуют квантовые флуктуации метрики безотносительно к состоянию расширения всего мира в целом. Например, сегодня такие флуктуации есть в мире в масштабах см или сек независимо от масштабов всего мира и состояния его расширения и в этих малых масштабах сегодня неприменима неквантовая ОТО. Это же утверждение можно повторить для любого момента в прошлом. Поэтому, когда какой-либо масштаб во Вселенной в прошлом был меньше см или время, протекшее от сингулярности, меньше 10-43 сек, то уравнения ОТО для описания эволюции этого масштаба уже неприменимы.

Рассмотрим вопрос о применимости модели перемешанного мира к ранним стадиям расширения реальной Вселенной. В общем случае, когда свет не успевает обойти Вселенную, ограничения, связанные с продолжительностью эволюции во времени, более жесткие, чем ограничения на пространственные масштабы, но и ограничения на пространственные масштабы очень сильные.

Рассмотрим их. Характерный масштаб во Вселенной сегодня есть По крайней мере, начиная со времени в прошлом, когда этот масштаб был см, наблюдаемая часть Вселенной расширялась изотропно. Наименьший масштаб применимости неквантовой теории, как говорилось выше, см или во времени 10-48 сек. Таким образом, в течение интервала времени, когда Вселенная, может быть, описывалась моделью перемешанного мира, ее масштаб изменился не более чем в раз. Посмотрим, сколько при этом возможно было циклов осцилляций и сколько раз свет мог бы обойти мир по разным направлениям. Для оценки возможного числа осцилляций мы должны воспользоваться формулой (21.4.6). Как указано в § 4, эта формула дает квадрат изменения масштаба наименьшего размера мира. Для того чтобы получить в левой части величину меньше 1068 при любом заметно большем 1, необходимо, чтобы было заведомо не более двух-трех циклов с двумя тремя осцилляциями в каждом цикле. Если же число осцилляций в цикле 8—10, то не могло быть больше одного цикла.

Таким образом, квантовые эффекты в ОТО должны сильно ограничить возможное число колебаний в окрестности сингулярности в космологической модели Мизнера.

В заключение мы еще раз подчеркнем (см. § 5 этой главы), что многократный обход светом и звуком мира невероятен в модели перемешанного мира даже без всяких ограничений на применимость ОТО, т. е. при формальном продолжении решения вплоть до сингулярности.