ПРИЛОЖЕНИЕ К РАЗДЕЛУ 1. ПОЛУЗАМКНУТЫЕ МИРЫ И ФИЗИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ МЕТРИКИ КРУСКАЛА

Замкнутый мир обладает рядом замечательны» свойств. Например, полная энергия (масса) его тождественно равна нулю, полный электрический заряд также равен нулю [см. Ландау и Лифшиц (1973)]. Полезно рассмотреть случай, когда однородное распределение вещества на некотором расстоянии от начала координат обрывается и дальше идет вакуум, т. е. рассмотреть изолированное тело. Это рассмотрение поможет понять свойства замкнутого мира. Для понимания этого приложения от читателя требуется знакомство с теорией сферического поля тяготения, метрикой Шварцшильда и координатами Крускала в этой метрике (см. ТТ и ЭЗ).

Рис. 25. Вращение кривых вокруг вертикальной линии дает изображение двумерного аналога искривленного пространства для изолированного тела. Эти же поверхности являются пространственными поверхностями в искривленном пространстве: а) радиус шара много меньше радиуса кривизны пространства а, создаваемого веще 1 ном шара плотности полузамкнутый мир,

Для замкнутого мира есть момент наибольшего расширения, когда скорость деформации на мгновение равна нулю и вещество мгновенно покоится. Будем рассматривать этот момент и для простоты ограничимся случаем левидного вещества без давления, Напомним (см. § 1 гл. 1), что эволюция шара произвольного радиуса и все его свойства никак не зависят от наличия или отсутствия окружающего вещества, которое не влияет гравитационно на вещество внутри шара.

Рассмотрим шар, представляющий часть замкнутого мира, и будем считать, что все внешнее вещество (вне радиуса отсутствует, т. е. это шар в пустом пространстве. Вдали от шара поле слабое, и на бесконечности пространство евклидово. Вблизи шара искривление пространства зависит от силы гравитационного поля. При фиксированной плотности сила поля зависит от размера шара. Пока радиус шара мал кривизна пространства в нем не проявляется, так как (рис. 25).

Но если увеличивать радиус шара при фиксированной плотности, т. е. добавлять новые слои вещества, то влияние кривизны на геометрическую структуру

пространства внутри шара растет. Как мы видели в § 2 гл. 2, поверхность шара где радиальная координата поверхности шара, а объем

радиус шара Мы видим, что с ростом отличие от формул евклидовой геометрии становится все больше.

Наконец, после увеличения радиуса до значений, больших в геометрии внутренности шара появится характерная особенность, свойственная замкнутому миру: уменьшение площади сфер с их удалением от центра (т. е. с ростом если они лежат за максимальной «экваториальной сферой» Каковы свойства пространства вне такого шара, получившего название «полузамкнутого мира» [Клейн (1961), Зельдович (1962а), Новиков (1962, 1963,

1964а), Гаррисон, Торн, Вакано, Уилер (1965)]?

Что представляет собой полузамкнутый мир для внешнего наблюдателя?

Рис. 26. Пространство-время полузамкнутого мира. Заштрихована область вещества шара.

Внешнее гравитационное поле шара должно быть сферически-симметричным. Известно (см., например, ТТ и ЭЗ), что единственное сферическое поле тяготения описывается метрикой Шварцшильда и зависит только от одной константы — внешней гравитационной массы (т. е. от полной энергии шара). Полная структура поля Шварцшильда описывается метрикой Крускала (см. § 14 гл. 3 ТТ и ЭЗ). Формулы для этой метрики приведены в конце данного приложения. Сейчас мы рассмотрим вопрос качественно.

Будем рассматривать шар в фиксированный момент наибольшего расширения и будем менять только радиус шара в этот момент, добавляя новые слои при фиксированной плотности, и, следовательно, будем менять массу шара. Чем больше масса, тем больше гравитационный радиус тела В конце приложения показано, что атак в то время как шварцшильдовский радиус поверхности шара в момент максимального расширения (определенный как есть, очевидно, Следовательно, отношение при малых увеличивается по мере того, как в начальном условии задается шар все большего размера. Пока и полузамкнутости мира еще нет. Это еще «обычный» шар, качественно подобный шару в евклидовой геометрии. Теперь вспомним, что шар нестатичен. Его эволюция во времени определяется зависимостью а от Шар является частью модели Фридмана, и функция нам известна (см. рис. 1). Шар расширяется от точки, достигает максимума размеров при и снова сжимается в точку. Но как протекает эволюция такого шара для внешнего наблюдателя? Пространство-время для всей эволюции такого шара показано на рис. 26. По вертикали — собственное время частиц, по горизонтали — лагранжева координата в пустоте система непрерывно продолжена свободными пробными частицами (подробнее см. § 14 гл. 3 ТТ и ЭЗ). Заштрихована область, занятая материей. Линии мировые линии гравитационного радиуса. Обычное пространство-время вдали от шара (евклидова бесконечность) находится справа, в области Эволюция шара протекает Для внешнего наблюдателя следующим образом. Шар расширяется от бесконечной плотности (точка а), выходит из-под своего

гравитационного радиуса (в точке достигает максимальных размеров о (в точке с), снова сжимается и за конечное собственное время достигает гравитационного радиуса (в точке а затем и точке ). Для внешнего наблюдателя подход к точке растягивается бесконечное время.

Если выбрать размеры шара так, что то его энергии хватает как раз настолько, чтобы расшириться до и снова сжаться (см. рис. 26). Наконец, при мы имеем полузамкнутый мир. Поверхность шара (полузамкнутого мира) уже никогда не выходит из-под сферы Шварцшильда к внешнему наблюдателю, т. е. не выходит в область Однако поверхность шара выходит из -области, из-под сферы Шварцшильда, но не к внешнему наблюдателю в правую -область, а в левую -область, достигает наибольшего размера и вновь сжимается. Вне полузамкнутого мира, в вакууме метрика является метрикой Крускала (см. § 14 гл. и ЭЗ) с «горловиной» в пространстве (т. е. местом минимума площади поверхности сфер в фиксированный момент) (см. рис. 26). Размер «горловины» меняется с течением времени, она расширяется от точки, достигает максимума и вновь сужается к точке.

Из полузамкнутого мира внешний наблюдатель может получить информацию только о ранних стадиях расширения, когда поверхность шара находится еще в -области (см. рис. 26).

Имеют ли полузамкнутые миры какое-либо отношение к реальности? Мы не знаем пока таких объектов [см. анализ в § 5 гл. 14 ТТ и ЭЗ; в последнее время этот вопрос рассматривал Марков (1973)]. Но, независимо от реальности их существования, рассмотрение свойств полузамкнутых миров имеет большой методический интерес. Особенно интересны внешние гравитационные проявления полузамкнутого мира.

Снова будем в момент максимального расширения рассматривать все большие по размерам шары одной и той же плотности. Какова масса таких шаров? Гравитационная масса статической (хотя бы только на момент) конфигурации меньше суммы масс слагающих ее частиц из-за гравитационного дефекта масс, и эта масса может быть измерена далеким наблюдателем по ее полю тяготения.

Гравитационную массу можно выразить следующим образом. Используем определение гравитационного радиуса приведенное выше соотношение и следующее из (2.1.9) соотношение для плотности в момент максимального расширения: В итоге получим

Между тем, по определению, сумма масс покоя дается формулой (на моменты

При малых размерах шара обе массы, естественно, совпадают, так как гравитационный дефект мал:

С ростом сумма масс слагающих частиц растет, как объем V, а гравитационная масса растет медленнее из-за дефекта масс. Величина

достигает максимума при

С дальнейшим ростом масса уменьшается. Добавление нового слоя вещества дает добавочный гравитационный дефект больший, чем собственная масса этого слоя. При Таким образом, при стремлении конфигурации к замкнутой масса стремится к нулю. Кратко можно сказать, что масса замкнутого мира равна нулю. В таком мире гравитационный дефект равен самой собственной массе:

В замкнутом мире равен нулю и полный электрический заряд. Отличный от нуля полный заряд был бы возможен лишь в том случае, если бы были неверны уравнения Максвелла. Заряд является источником электрического поля. В евклидовом пространстве силовые линии электрического поля, выходя из заряда, либо стекают к заряду противоположного знака, либо уходят на бесконечность. В замкнутом мире бесконечности нет.

Зададимся произвольным распределением электрического поля в замкнутом мире и найдем соответствующую плотность заряда по уравнению Всегда окажется, что полный заряд равен нулю, т. е. так как если нет бесконечности, то силовые линии, начинающиеся на одном заряде, обязательно кончаются на другом заряде противоположного знака, нейтрализующем первый. Подробнее эти вопросы и анализ других свойств замкнутых и полузамкнутых миров см. Марков (1973).

В заключение приведем формулы для полузамкнутого мира [см. Новиков (1964а)], причем воспользуемся решением Толмена (см. § 13 гл. 3 ТТ и ЭЗ). Интервал запишем в виде

где а — постоянная размерности длины, являющаяся масштабом, скорость света равна единице и все величины в скобках безразмерны. Решение Толмена имеет вид

где — произвольные функции, определяемые условием задачи, штрих — производная по Пусть область, заполненная веществом (при ), является частью однородной замкнутой модели. Тогда, переходя от выражения интервала (2.1.10) к получим

Если то вещество представляет собой полузамкнутый мир.

Вне шара при вакуум. Для того чтобы сшить решение с метрикой Крускала (см. § 14 гл. 3 ТТ и ЭЗ) для вакуума, надо при положить

где , очевидным образом выражается через из условия непрерывности функций при

В § 14 гл. 3 ТТ и ЭЗ показано, что Поэтому, используя выражение для а из получаем окончательно где граница шара. Последнее выражение и приведено выше в тексте.