Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 611 612 613 614 615 616 617 618 619 620 621 622 623 624 625 626 627 628 629 630 631 632 633 634 635 636 637 638 639 640 641 642 643 644 645 646 647 648 649 650 651 652 653 654 655 656 657 658 659 660 661 662 663 664 665 666 667 668 669 670 671 672 673 674 675 676 677 678 679 680 681 682 683 684 685 686 687 688 689 690 691 692 693 694 695 696 697 698 699 700 701 702 703 704 705 706 707 708 709 710 711 712 713 714 715 716 717 718 719 720 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 2. Сингулярность в начале расширенияПредположения о том, что отклонения от фридмановской модели в начале расширения не позволяют избежать сингулярности, высказывались давно. Они основывались в общих чертах на следующих аргументах. В настоящее время астрономическими методами непосредственно исследуется часть Вселенной, радиус которой меньше, чем гравитационный радиус массы этой части. Тот факт, что при расширении массы из-под своего гравитационного радиуса сингулярность вначале неизбежна, казался весьма вероятным, хотя строгого доказательства не существовало. Отсюда делалось предположение, что расширение Вселенной начиналось от сингулярности, даже если ранние стадии расширения не описывались моделью Фридмана. В 1965 г. появилась первая теорема Пенроуза (1965), касающаяся проблемы гравитационного коллапса. В этой теореме доказывалось, что сингулярность неизбежно возникает после сжатия тела до размеров меньше гравитационного радиуса. Вслед за этой работой последовал целый ряд теорем Пенроуза, Хоукинга и Героча, рассматривающих возникновение сингулярности как при коллапсе изолированных тел, так и в космологической проблеме. В 1970 г. Хоукингом и Пенроузом была опубликована обобщающая работа. Сформулированная в ней теорема использует предположения, которые непосредственно проверяемы астрономическими наблюдениями, поэтому она наиболее подходит для обсуждения проблемы сингулярности в космологии. В этой же работе можно найти подробную библиографию. Все работы рассматриваемой серии используют для доказательства наличия сингулярности геометрические методы, в них не строятся аналитические решения вблизи сингулярности. Таким образом, доказанные в них теоремы являются теоремами существования, и о структуре сингулярности почти ничего сказать нельзя. Прежде чем переходить к изложению теоремы Пенроуза — Хоукинга, остановимся на определении понятия сингулярности. Нас интересуют, конечно, истинные сингулярности пространства-времени, т. е. такие, которые объективно существуют независимо от выбора системы отсчета. Их называют истинными сингулярностями в отличие от мнимых, которые связаны с «неудачным» выбором системы отсчета. Прежде всего, существуют чисто координатные сингулярности, подобные пересечению радиальных линий полярной системы в полюсе. Таковы, например, пересечения геодезических линий, образующих синхронную систему отсчета в искривленном пространстве-времени, что особенно подчеркивается Лифшицем и Халатниковым. Несколько другого рода сингулярности, подобные гравитационному радиусу Еще более поучителен следующий пример [Новиков (1964а)]. Рассмотрим в плоском пространстве-времени совокупность частиц, покоящихся в некоторый момент. Частицы начинают двигаться с ускорением, обратно пропорциональным расстоянию от некоторой точки. Это ускорение не гравитационное. Оно постоянно во времени для каждой частицы в ее собственной системе отсчета и равно
(здесь выражение для
Мировые линии частиц, образующих эту систему, изображены на рис. 61. Из выражения (22.2.2) следует, что в центре системы Природа этой особенности видна из рис. 61. Эта система отсчета не охватывает всей внутренности светового конуса с вершиной в точке 0. В то время как в координатах
Рис. 61. Мировые линии пробных частиц, образующих систему (22.2.1). Вертикальная точечная линия — мировая линия частицы, покоящейся в лабораторной системе отсчета (тильды у координат опущены). Как можно, оставаясь в системе
При некоторые геодезические (например, рассмотренные выше) охватываются ими лишь частично. Итак, сингулярности в геодезически неполных системах могут быть устранены переходом к другой системе отсчета. Нас сейчас интересуют истинные «инвариантные» неустранимые сингулярности пространства-времени. На первый взгляд, следует называть истинной сингулярностью в пространстве-времени место, где инварианты тензора Наиболее естественно считать пространство-время без сингулярности, если все времениподобные мировые линии (а также нулевые) можно было бы продолжать в прошлое и будущее неограниченно до бесконечно собственной длины (для нулевых линий до бесконечного аффинного параметра). Это означало бы, что частицы и фотоны движутся по любым возможным для них путям и нигде не возникают спонтанно и не исчезают ни в прошлом, ни в будущем. В таком пространстве-времени нет ни бесконечных кривизн, ни «дырок». Однако такое требование для мировых линий заведомо слишком сильно и невыполнимо даже в бесконечном плоском евклидовом пространстве-времени. Действительно, времениподобная мировая линия, достаточно быстро приближающаяся по направлению к нулевой линии (траектории света), будет иметь конечную длину. Но частица, движущаяся по такой линии, будет испытывать неограниченно нарастающее ускорение. Пусть, например, частица набирает скорость по закону
где начала ее движения, есть
При Для ускорения частицы в собственной системе отсчета, т. е. для испытываемой чаетицей силы на единицу массы, вычисления (см. ТТ и ЭЗ) дают
Ускорение частицы равно нулю при Можно считать, что бесконечные ускорения нефизичны, частицы не могут двигаться с неограниченно нарастающим ускорением. Тогда мы приходим к следующему определению: пространство-время не сингулярно, если любые геодезические времениподобные (т. е. линии для частиц, движущихся без ускорений в собственной системе отсчета) или нулевые линии неограниченно продолжимы в будущее и прошлое до бесконечной собственной длины (до бесконечного аффинного параметра для нулевых геодезических). Такое пространство-время называют причинно геодезически полным. Требования полноты представляются минимально необходимыми для того, чтобы считать пространство-время не содержащим сингулярностей. Надо сразу же оговориться, что пространство-время, не удовлетворяющее этим требованиям, т. е. пространство-время с сингулярностью, не обязательно содержит точки с бесконечной кривизной или «дырки», в которые упираются геодезические. Построены примеры, в которых времениподобная геодезическая быстро подходит к нулевой геодезической и имеет конечную собственную длину. Но, конечно, с физической точки зрения любое пространство-время, в котором геодезическая мировая линия частицы не может быть неограниченно продолжена по собственному времени этой частицы, следует считать сингулярным, приводящим к нарушению законов сохранения. Мы будем придерживаться этого определения. Теорема Хоукинга — Пенроуза (1970) в применении к космологической проблеме читается следующим образом. Теорема. Пространство-время геодезически полным, если выполняются уравнения ОТО и следующие условия: 1) М не содержит замкнутых времениподобных кривых; 2) для уравнения состояния справедливы условия
где 3) на каждой времениподобной или нулевой геодезической есть хотя бы одна точка, для которой
где 4) М содержит либо а) точку Разберем условия теоремы. Требование 1) представляется естественным. Наличие замкнутых линий времени нарушает причинность, и существование таких линий само по себе означало бы некую «сингулярность». Хоукинг и Пенроуз (1970) подчеркивают, что в работе Хоукинга (1966б) доказана теорема о существовании сингулярности в расширяющемся замкнутом мире без условий относительно замкнутых линий времени. Однако там требовалось, чтобы на некоторой компактной пространственноподобной поверхности все вещество расширялось. Формально такая теорема неприменима ко Вселенной (даже если считать ее замкнутой), в которой есть коллапсирующие тела. Эта тонкость существенная для математического доказательства, однако для астрофизика теорема является очень сильным аргументом в пользу того, что образование замкнутых линий времени не есть способ избежать сингулярности. Требование 2) всегда выполнено для всех известных видов вещества и полей в условиях, когда кривизна пространства-времени далека от «планковских» значений Требование 3) чисто математическое. Оно, по-видимому, справедливо в любом невырожденном решении, и появление геодезической со столь вырожденными свойствами, чтобы вдоль нее всегда выполнялось (22.2.8), вряд ли может быть способом избежать сингулярности. Наконец, требования 4), по существу, являются теми глобальными физическими условиями, которые приводят к появлению сингулярности. Эти условия утверждают, что тяготение всей материи настолько сильно, что сингулярность неизбежна. Условие 4а), в принципе, непосредственно проверяется наблюдениями. Реально это условие может быть проверено комбинацией наблюдательных данных и простейших вычислений. Например, если доказать, что это условие выполняется во фридмановской модели, а затем показать, что, согласно наблюдениям, фридмановская модель применима в прошлом вплоть до момента, когда лучи начинают вновь сходиться (и условие сходимости сохраняется в этой слегка возмущенной модели), то тем самым доказывается выполнение условий 4а). Мы рассматривали проблему сходимости лучей в прошлом в § 3 гл. 3. При однородном распределении вещества и Следовательно, расширение Вселенной начиналось от сингулярности, во всяком случае постольку, поскольку применимы уравнения ОТО. К сожалению, теорема Хоукинга — Пенроуза практически ничего не говорит нам о структуре сингулярности. Она просто утверждает, что по крайней мере одна мировая геодезическая линия частицы или фотона непродолжима неограничено в прошлое (или будущее). Несмотря на возможные экзотические примеры, когда пространство-время подобным образом геодезически неполно, а бесконечных кривизн в нем все же нет, практически все специалисты считают, что в общем невырожденном случае сингулярность означает бесконечную кривизну пространства-времени. Нерешенными в этой теореме остаются следующие вопросы: вся ли материя проходила в прошлом через сингулярное состояние или только часть ее и как проходило расширение вблизи самой сингулярности? Вторая из этих проблем разбирается в следующем параграфе.
|
1 |
Оглавление
|