§ 2. Влияние пространственной анизотропии тензора энергии-импульса на космологическое решение

До сих пор мы рассматривали в космологических задачах лишь гидродинамический тензор энергии-импульса Этот тензор пространственно изотропен; для давления выполняется закон Паскаля. Однако, как известно, это условие выполнено далеко не всегда. Например, для однородного магнитного поля, направленного по оси тензор энергии-импульса может быть записан в виде

где напряженность поля.

Этот тензор неизотропен. По оси имеется натяжение, «отрицательное» давление, по осям положительное давление. Другим примером может служить направленный поток релятивистских частиц (например, фотонов или нейтрино), движущихся без столкновений вдоль оси поровну в обоих направлениях этой оси. Для такого потока тензор энергии-импульса записывается в виде

Здесь положительное давление, равное плотности энергии, имеется лишь в направлении оси Вдоль двух других направлений давление равно нулю.

Подчеркнем, что в обоих упомянутых случаях нет направленного потока энергии относительно системы отсчета, все

Мы увидим далее, что при рассмотрении задач анизотропной космологии возникновение пространственной анизотропии тензора энергии-импульса неизбежно. В частности, рассмотренные выше примеры (19.2.1) и (19.2.2) не искусственны, тензоры такого вида действительно встретятся при дальнейшем изложении. В этом параграфе мы не будем касаться случаев направленных потоков энергии хотя эти случаи важны для космологии, однако они требуют специального подхода и будут рассмотрены далее. В данном параграфе рассматривается влияние пространственной анизотропии на расширение, на ускорение вещества в разных направлениях. Сразу же подчеркнем, что вследствие однородности никакого градиента давления нет, нет и никаких сил, с ним связанных. Влияние анизотропии давления может быть только гравитационным.

Как известно, в ОТО гравитационное поле зависит и от давления (см. § 1 гл. 2 данной книги и более подробно § 5 и § 6 гл. 1 ТТ и ЭЗ). Изотропное положительное давление замедляет расширение. Анизотропия давления должна создавать анизотропию ускорений деформации вещества. Из вида уравнений (18.3.2) — (18.3.5) видно, как влияет анизотропия на относительное ускорение. В самом деле, рассмотрим два решения. Пусть для обоих решений (обозначим их 1 и 2) в некоторый момент времени все первые производные по соответствующим осям равны

и для плотности энергии и следа тензора имеем Пусть, далее, в первом решении тензор изотропен: а во втором решении тензор анизотропен. Как повлияет это на ускорения?

Из уравнений (18.3.2) — (18.3.5) находим

Таким образом, возникающая анизотропия относительных ускорений пропорциональна анизотропии и противоположна по знаку. Очевидно, заметное влияние тензора на расширение модели возможно лишь в том случае, когда в правой части уравнений (18.3.2) — (18.3.5) есть члены, сравнимые по порядку величины с членами в левой части, так же как это было для изотропного в анизотропных моделях. Однако анизотропный тензор Твообще говоря, не может обеспечить изотропизацию решения (если нет других факторов изотропизации, см. об этом далее).

Для иллюстрации сказанного рассмотрим анизотропные космологические решения с приведенными выше тензорами энергии-импульса (19.2.1) и (19.2.2). Первое решение с однородным магнитным полем и метрикой (18.3.1) рассмотрено, например, Розеном (1964).

Пусть поле направлено вдоль оси Решение может быть записано в параметрическом виде:

где

Вблизи сингулярности решение имеет следующий асимптотический вид:

а удовлетворяют соотношениям, аналогичным (18.3.8), причем

Очевидно, удовлетворяют соотношениям (18.3.7) и асимптотическое решение (19.2.5) является «вакуумным».

Показатель всегда отрицателен, положительны, причем возможно и

Так как решение «вакуумное» при то, следовательно, магнитное поле асимптотически при не влияет на решение. Действительно, в этом случае энергия поля растет, как

и вследствие (19.2.6) имеем Поэтому членами в правой части уравнений тяготения можно пренебречь по сравнению с членами в левой части, которые пропорциональны

Подчеркнем, что решение с магнитным полем не допускает решения с отрицательным (вдоль поля). В этом случае энергия поля при нарастала бы быстрее, чем и пренебрегать этими членами было бы нельзя.

Когда в ходе расширения в рассматриваемом решении кончается вакуумная стадия, влияние правой части на решение отличается от случая изотропного тензора Та. Рассмотрим, в чем заключается это влияние. Сравним влияние магнитного поля с влиянием изотропного тензора с тем же и с тем же средним давлением (т. е. с тем же а значит, и с тем же Тензор очевидно, описывает релятивистский газ. Подставив (19.2.1) и тензор релятивистского газа в уравнения (19.2.3), получим

Сильнее всего влияние анизотропии на увеличивающее модуль отрицательной величины В результате замедленное расширение по оси переходит в сжатие. По оси как и в изотропном случае, сжатие меняется на расширение. И в целом при со решение снова становится «вакуумным» и имеет вид (19.2.5), только в (19.2.6) надо сделать замену поменять местами.

Разумеется, рассмотренная задача является модельной, и при решение, во всяком случае, неприменимо для описания реальной Вселенной. Однако, как мы покажем в § 3, на некотором интервале времени решение, возможно, имеет отношение к анализу процессов в начале космологического расширения.

Приведем теперь решение для релятивистских частиц, движущихся по оси

где постоянная тяготения Эйнштейна.

При решение асимптотически «вакуумное», с отрицательным показателем по оси При решение вновь становится «почти вакуумным», но уже с расширением по оси по закону и с логарифмически медленным расширением по осям Качественный анализ влияния анизотропии на решение в этом случае читатель проделает самостоятельно по аналогии с предыдущим.