§ 2. Возмущения в пылевидной среде; приближенный анализ общего случая («блины»)

Из астрономических наблюдений известно, что в расширяющейся Вселенной амплитуда возмущений плотности достигает величины порядка единицы на том этапе, когда линейные размеры неоднородностей много меньше и много меньше радиуса кривизны а. Таким образом, теория роста неоднородностей перестает быть линейной на этапе, когда уже можно пользоваться ньютоновской физикой и релятивистские эффекты несущественны.

Описываемое ниже приближенное решение [Зельдович (19706)] заключается в использовании лагранжевых переменных и (обоснованной) экстраполяции линейной теории. Эйлеровская координата частиц будет записана как функция ее лагранжевых координат в виде

Прежде чем переходить к обоснованию формулы (13.2.1), сделаем следующие замечания. Первый член соответствует невозмущенному движению. Пренебрегая вторым членом, получим

т. е. хаббловский закон расширения. Лагранжевы координаты определяются как координаты невозмущенного положения частицы в момент определяемый условием поэтому для невозмущенного решения.

Второй член в формуле (13.2.1) описывает возмущения. Форма записи (13.2.1) соответствует случаю малых растущих возмущений — в этом случае функция двух переменных может быть факторизована, т. е. записана как произведение на

Действительно, в § 3 гл. 9 было показано, что в линейном приближении и! при возмущение любой формы растет, оставаясь подобным:

При этом пространственный масштаб меняется в соответствии с общим космологическим расширением. Здесь следует сделать одну оговорку: распределение плотности может быть любым, т. е. на функцию 60 никакие ограничения не накладываются. При данной функции 60 распределение пекулярной скорости связано с 60 условием Второе условие, которому удовлетворяет скорость, заключается в том, что Это условие должно выполняться в теории происхождения галактик из адиабатических возмущений, ибо мы знаем, что вихревая скорость быстро убывает в ходе космологического расширения, вихревая компонента, даже если она была в начальном спектре, не содержится в растущем решении. Другими словами, в качестве можно выбрать произвольное потенциальное поле (так что а плотность при этом Чтобы от линейного решения перейти к предлагаемому приближенному решению нелинейной задачи, которое также будет записано в виде (13.2.1), остается сделать два шага. Первый шаг заключается в том, что мы вводим лангранжевы переменные т. е. будем следить за движением каждой данной частицы.

В невозмущенном движении как уже отмечалось, возмущения зависят именно от этой переменной. Когда возмущения не считаются малыми (т. е. при выходе за рамки линейной теории), выбираем в качестве переменной именно а не

Второй шаг связан с тем, что простая связь между пекулярной скоростью и плотностью также имеет место только в линейной теории. При построении (приближенной) нелинейной теории выбираем Для экстраполяции именно формулу скорости линейной теории Соответствующее выражение для смещения имеет вид (13.2.1). Вычислим пекулярную скорость:

(при этом учтено, что постоянная Хаббла Таким образом устанавливается связь между функциями и пространственная зависимость одинакова. Следовательно, %(s) также является безвихревой функцией. Строгое доказательство того факта, что при потенциальности начальных возмущений движение и на нелинейной стадии остается безвихревым (до возникновения ударных волн), дано в работе Зельдовича (19706).

Почему именно такой вариант записи линейного приближения представляется пригодным для экстраполяции в область конечных и больших возмущений? Для ответа на этот вопрос рассмотрим сначала пылевидную среду без сил тяготения. Тогда задача о ее движении решается точно, так как все частицы движутся по инерции с постоянными скоростями. Мы считаем, что решение без учета сил тяготения может быть применимо, начиная с некоторого момента, когда Мы будем отсчитывать время от этого момента и лагранжевы координаты частиц выберем совпадающими с эйлеровыми в момент

Решение записывается в виде

Здесь первый член описывает невозмущенное расширение — милновскую расширяющуюся модель второй член дает пекулярные скорости, а третий — положение частиц в момент В отсутствие тяготения решение фактически имеет вид (13.2.1).

Возьмем небольшой элемент объема такой среды. Расстояние между двумя близкими частицами есть а изменение его с течением времени

Используя получим

Если градиенты пекулярных скоростей (второй член в круглых скобках) достаточно велики, то может как расти со временем (в этих направлениях элемент объема растягивается), так и уменьшаться (в этих направлениях элемент объема сжимается). Относительные скорости постоянны во времени. Имеется направление, в котором скорость сжатия элемента наибольшая. Следовательно, через конечный промежуток времени элемент в этом направлении сплющится в «блин». В соседних элементах скорость сжатия и направление наибольшей скорости сжатия несколько иные, но по непрерывности в близких элементах они близки. Сплющивание элемента объема вещества в «блин» — важнейшее свойство этого

решения. В принципе возможно сжатие и в нить или даже в точку, но для этого надо, чтобы скорости сжатия в двух или, соответственно, трех направлениях совпадали, что крайне маловероятно.

Посмотрим, как повлияют на решение силы тяготения. Если бы вещество сжималось в виде шара в точку, то сила тяготения нарастала бы неограниченно и кардинально бы влияла на решение. При сплющивании же в «блин» сила тяготения остается конечной даже при При строго одномерной задаче эта сила для каждого элемента вообще постоянна во времени. Тяготение не меняет существенно свойства решения на нелинейной стадии. В частности, оно не меняет вывода о сплющивании в «блин», а только способствует этому явлению, несколько увеличивая со временем скорость сплющивания. Вот почему решение для нелинейной стадии с учетом тяготения следует искать в виде, похожем на решение для пылевидной среды без тяготения, только коэффициенты при слагаемых в (13.2.1) должны иначе зависеть от времени и эта зависимость определяется тяготением.

В задаче без тяготения (13.2.1а) пекулярные скорости постоянны во времени и для сжатия объема в каком-либо направлении скорости должны были быть заданы достаточно большими. В реальной задаче с тяготением эти скорости нарастают с течением времени из-за гравитационной неустойчивости и, будучи сначала малыми и описываемыми линейной теорией, в конце концов становятся большими, приводят к сплющиванию элемента в «блин».

Оценка точности предлагаемой приближенной формулы (13.2.1) для описания нелинейной стадии будет дана ниже, после исследования свойств решения.

Важное практическое достоинство формулы (13.2.1) заключается в том, что она имеет единый вид для линейных и нелинейных стадий, и, кроме того, в том, что если найдено смещение частиц, то вычисление плотности и относительной скорости легко проделать аналитически, требуется только дифференцирование, но не интегрирование. Отметим, что задачу о движении пылевидной среды рассматривал Станюкович (1971). Эта задача подробно разобрана также в книге Зельдовича и Мышкиса (1973). В ОТО анализ проведен Грищуком (19676). Итак, принимаем (13.2.1).

В линейном приближении функция хорошо известна: возмущения плотности пропорциональны отношению так что это отношение можно считать известным. Приближение заключается в использовании формулы (13.2.1) для описания возмущенного движения и на нелинейной стадии, в частности даже в ходе коллапса, когда бесконечная плотность достигается по крайней мере в части массы.

Вычислим, как меняется плотность, если заданы функции Очевидно, для этого надо вычислить изменение объема элемента среды. Пользуясь выражением (13.2.1), легко подсчитать

деформацию объема. В результате получаем

где — якобиан преобразования. Расписывая якобиан через производные, получаем

Мы уже подчеркивали, что в решении отсутствуют вихревые движения, поэтому для каждого элемента среды можно выбрать координаты так, что матрица (13.2.3) станет диагональной. В выбранной системе выражение для переписывается в виде

где — функции только функция только Величины у характеризуют деформацию вдоль трех ортогональных главных осей тензора деформации и выражаются довольно сложно через совокупность производных В общем случае и для определенности мы выберем

Возможны случаи, когда (тогда и Но если (знак произволен), а величина а растет и достигает единицы в ходе эволюции, то из (13.2.4) следует, что в этот момент и в этой частице

Бесконечная плотность возникает в результате одномерного сжатия вдоль оси, соответствующей а. Таким образом, из нашего приближения следует вполне определенная картина: когда возмущения становятся достаточно большими, в различных местах образуются плоские «блины» коллапсирующей пыли.

Обратимся теперь к обсуждению точности предложенного метода. Уравнения движения в лагранжевой форме имеют вид

Для справедливости записи смещений частиц в форме (13.2.1) необходимо, чтобы все уравнения были линейны. Первое уравнение линейно в смещениях и потенциале. Во втором уравнении, если мы используем истинное выражение для гравитационного потенциала как функции от эйлеровской координаты появляется нелинейность [см. выражение через Только в случае малых возмущений можно записать

где линейная функция невозмущенный потенциал в ньютоновском приближении. В случае немалых возмущений совокупность (13.2.1), (13.2.4) и (13.2.5) дает лишь приближенное решение. Решающим аргументом в пользу предложенной аппроксимации является то, что бесконечной плотности в «блине» соответствует конечная плотность на единицу поверхности. Это следствие одномерного сжатия, в противоположность сферически-симметричному случаю. Но бесконечно тонкий диск с конечной массой и конечной поверхностной плотностью создает конечный потенциал (и конечное поле, т. е. градиент потенциала). Ошибка, вносимая сделанным нами предположением о факторизованном виде (13.2.1), несмотря на нелинейность (13.2.5), остается конечной даже в конце периода сжатия, когда

С другой стороны, предлагаемая теория асимптотически точна вначале, когда возмущения малы, поскольку используемые формулы являются обобщением линейной теории. Численные расчеты при случайных начальных условиях показали, что ошибки в моменте образования «блинов» в среднем не превышают 20—30% [Дорошкевич, Рябенький, Шандарин (1973), Дорошкевич, Шандарин Но что представляется твердо установленным — это одномерный характер сжатия с пересечением траекторий и возникновением «блина» из вещества с большой плотностью. Образование «блина» сопровождается возникновением ударной волны в окружающем «блин» веществе. Этот процесс вместе с физическими приложениями теории обсуждается в следующей главе.

Необходимо еще раз подчеркнуть, что изложенная картина справедлива лишь в случае равного нулю (или пренебрежимо малого) давления. Эквивалентной формулировкой является следующая: теория применима лишь к длинноволновым возмущениям Функция которая играет главную роль в приближенной теории, определяется начальными значениями и

Эти величины должны быть разделены (см. гл. 11) на нарастающую, убывающую и вихревую моды (последняя с При лишь нарастающая мода выживает и решение описывается формулами (13.2.1), где, однако, описывает амплитуду растущей моды. В этом решении движение безвихревое как в -пространстве, так и в -пространстве, так что и тензор деформации симметричен.

Можно показать, что при возмущениях, зависящих от одной только декартовой координаты, например решение является точным. Из условия отсутствия вихря следует, что решение в этом случае имеет вид

При давлении, равном нулю, такое решение справедливо при любой функции и при функциях удовлетворяющих уже известным нам уравнениям, полученным для малых возмущений в гл. 9, притом для любого или

Решение для а описывает фридмановское расширение, решение для [зависящее от функции первого уравнения] описывает линейную стадию возмущений любой формы, но в одномерном возмущении это решение остается точным и при больших возмущениях, пока столкновение частиц и появление ударных волн не приведут к тому, что нельзя будет пренебречь давлением. Эту стадию мы разберем в следующей главе.

Вернемся к общему случаю трехмерной задачи.

При малом отношении можно записать первое приближение:

В этом приближении возмущение плотности растет, сохраняя свою форму, т. е. характер зависимости возмущения от лагранжевой координаты задан одной функцией Однако при больших возмущениях это подобие нарушается. В точках (точнее, в частицах) с данной суммой плотность одинаково меняется на ранней (линейной) стадии, но по-разному (в зависимости от значений отдельных величин на нелинейной стадии. Можно сказать, что предлагаемая приближенная теория учитывает не только приток вещества в область, где уже есть избыток массы, но учитывается и

приливное воздействие соседних масс, действующих косвенно на характер сжатия.

Обратимся теперь к некоторым статистическим аспектам теории «блинов».

Довольно тонкий вопрос о вероятности появления данного набора коэффициентов исследован Дорошкевичем (1970). Отдельные компоненты тензора фиксированной системе координат имеют нормальную функцию распределения, если функция распределения начальных возмущений нормальна и фурье-образы возмущений также распределены по нормальному закону. Но диагонализация тензора т. е. расчет трех величин у по шести величинам операция нелинейная. Следовательно, функция распределения у больше не будет нормальной, даже если функция распределения нормальна.

Дорошкевич получил для вероятности данного набора

где дисперсия диагональных компонент тензора Множители представляют особый интерес. Совпадение (или а с превращающее «блин» в «прут» (или даже в точку), является очень маловероятным, гораздо менее вероятным (из-за указанных выше множителей), чем совпадение двух или трех независимых величин. Картина «блинов» получает дальнейшее подтверждение.

Необходимо отметить, что сжатие по одной координате может сопровождаться как сжатием, так и расширением в плоскости «блина». На самом деле, как показал Дорошкевич, лишь около вещества сжимается по всем трем осям вещества сжимается в одном направлении, но расширяются в одном или двух направлениях или Величина близка к оценке , по которой лишь около вещества сжимается по всем направлениям. Конечно, если вещество сжимается по трем направлениям, то оно образует гравитационно связанный объект. Однако не очевидно, что только эти будут гравитационно связаны. Часть из других областей может также привести к образованию объектов.