ПРИЛОЖЕНИЕ К § 9

Рассмотрим нелинейную стадию эволюции вихревых возмущений, которая наступает после момента рекомбинации. Вихревое движение после этого момента происходит со сверхзвуковой скоростью, поэтому до возникновения ударных волн можно пренебречь давлением вещества. Пренебрегаем также и гравитационными полями, связанными с возмущениями плотности. Последнее отличает данную задачу от рассмотренной в §2 гл. 13, задачи о нелинейной стадии адиабатических возмущений. Аналогично методу § 2 гл. 13, разложим Движение среды на хаббловское расширение и пекулярное движение. Запишем вектор положения каждой частицы в эйлеровой системе координат в виде

— лагранжева координата, второй член описывает пекулярное смещение. Наша задача заключается в нахождении функции Абсолютная скорость частицы в ньютоновской картине есть Пекулярная скорость

есть разность между абсолютной скоростью и хаббловской скоростьо невозмущенной среды в той же точке пространства: 7

Как известно (см. § 1 гл. 3), пекулярная скорость убывает обратно пропорционально масштабу, т. е. как Относя численный множитель к функции получим

Определим лагранжеву координату как положение точки в момент начала свободного движения, т. е. в момент рекомбинации :

С этим начальным условием получим решение уравнения

Перемещение частицы в сопутствующем пространстве дается функцией (не смешивать с потенциалом:

Как видно из формулы, вблизи начального момента <рек и асимптотически при Этот результат существенно отличается от результата § 2 гл. 13 при для растущих адиабатических возмущений, усиливаемых своим гравитационным полем. Зная смещения частиц, вычисляем плотность вещества:

В вихревой теории функция отнюдь не должна быть потенциальной, как это было для адиабатических возмущений; тензор несимметричен в вихревой теории, его антисимметричная часть соответствует вращению. Рациональным выбором осей координат, постоянным для данной частицы, можно привести тензор к виду

Величина характеризует вращение вокруг оси (третьей оси). Учтен тот факт, что начальное движение (еще на стадии до рекомбинации) есть движение несжимаемой среды, след тензора Невихревая (симметричная) часть тензора характеризуется также недиагональными Условившись, что ось направлена по оси вращения, мы оставили одну лишь степень свободы — поворот координат вокруг оси использовали

ее чтобы исключить симметричную часть и Величины зависят от так же как и ориентация осей нашей системы координат.

В принятых обозначениях получим, расписывая

Как и следовало ожидать, при малых разложение начинается с поскольку учтено, что в начальный момент движение (унаследованное от дорекомбинационного) несжимаемое, при <рек.

При данных компонентах тензора движение может привести к образованию ударной волны при обращении в нуль величины, заключенной в фигурные скобки. В отличие от потенциального случая (§ 3 гл. 13), эта величина никогда не имеет всех трех положительных корней для Однако один положительный корень вполне возможен и при и Не всякий положительный корень для реализуется как ударная волна и бесконечная плотность, поскольку надо иметь в виду ограничение роста

В действительности, однако, когда рост (эффективно при ) останавливается, возникшие возмущения плотности начинают гравитационно влиять на решение. Наше пренебрежение гравитацией становится незаконным, и возмущения плотности являются начальными возмущениями растущего решения типа решения § 2 гл. 13.

Выражение для заставляет предполагать, что между плотностью и вихрем скорости есть антикорреляция. В частности, в элементе объема, в котором равны нулю все компоненты тензора, кроме плотность монотонно убывает: . В элементе объема с вначале, при плотность обязательно возрастет. Действительно, пренебрегаем по сравнению с а коэффициент при в квадратных скобках положителен, так как . В заключение заметим, что подробно статистическая теория описываемой ситуации не разработана.