§ 5. Тензорные возмущения — гравитационные волны

Решение, соответствующее тензорным возмущениям, определяется формулами

где постоянный (не зависящий ни от координат, ни от времени) тензор (см. § 2 этой главы). Подчеркнем, что возмущенная система отсчета в этом случае является сопутствующей веществу. Уравнения ОТО (11.1.4), (11.1.5) для релятивистского газа в случае возмущений вида (11.5.1) дают решение

здесь С—комплексная постоянная, действительные постоянные.

Если длина волны меньше оптического горизонта решение описывает волновое гравитационное поле. После этого ясно, что в ходе расширения для любой длины гравитационной волны (в лагранжевой сопутствующей системе) наступает момент когда эта длина становится меньше оптического горизонта. Тогда можно по обычным формулам [см., например, Ландау и Лифшиц (1973)] вычислить плотность энергии гравитационных волн. Амплитуда гравитационной волны есть

где наибольшая по модулю величина из и Плотность энергии гравитационных волн

Плотность энергии оказывается так как согласно предыдущей формуле кроме того Это очевидный результат, описывающий изменение с космологическим расширением плотности энергии запасенной в виде гравитационных волн. Соотношение между зависимостью от времени и зависимостью от координат соответствует волновому решению, скорость волны равна с. Как отмечалось Лифшицем, с гравитационными волнами не связаны возмущения скорости и плотности. Утверждение о скорости является пиквикским.

Действительно, скорость вещества относительно возмущенной системы координат тождественно равна нулю в поле гравитационной волны, ибо возмущенная синхронная система является сопутствующей веществу. Однако относительные скорости частиц меняются при наличии гравитационной волны, т. е. имеются деформации (возмущения) самой системы отсчета. Если проделать по формуле (11.4.3) вычисления деформации системы отсчета для метрики где удовлетворяют (11.5.1), (11.5.2), то легко убедиться, что деформация среды носит следующий характер: шар превращается в эллипсоид с отношениями осей причем неизменна третья ось, расположенная вдоль направления распространения волны, а величина периодически изменяется со временем. Объем шара не изменяется, плотность остается постоянной, невозмущенной, в соответствии с тем, что след тензора возмущенной части в случае гравитационной волны равен нулю.

Рассмотрим вопрос о взаимодействии гравитационных волн со средой. Идеальная жидкость (без вязкости и упругости) характеризуется тем, что ее тензор натяжений сводится к одному скаляру — давлению (закон Паскаля); при анизотропной деформации с постоянной плотностью и, следовательно, постоянным давлением жидкость без сопротивления принимает новую форму. Но это значит, что в жидкости не выделяется тепло, не растет энтропия и не рождаются новые гравитационные волны. Между тем именно рождение новой волны и ее интерференция с проходящей («старой») волной являются механизмом, осуществляющим поглощение волны и изменение ее фазы. Именно за счет объемного излучения вещества, через которое проходит волна, возникает отличный от единицы показатель преломления среды для волн.

Итак, идеальная жидкость не меняет закона распространения гравитационных волн. Именно такой результат получил Лифшиц, решая задачу о гравитационных волнах в расширяющейся Вселен ной, заполненной идеальной жидкостью. Если жидкость вязкая, то при деформации происходит нагревание жидкости. Очевидно, что энергия черпается из энергии гравитационной волны; отсюда Хоукинг (1966а) нашел выражение для коэффициента затухания гравитационной волны в вязкой среде:

где вязкость. Записав вязкость в виде где кинематическая вязкость для релятивистских частиц с пробегом

получим

Однако очевидно, что такое выражение справедливо лишь до тех пор, пока можно пользоваться понятием вязкости, т. е. пока пробег I меньше длины волны к. При нужно рассматривать противоположный случай (почти) свободных частиц в гравитационной волне, к чему мы перейдем ниже, в гл. 16.

Поверим, пока без доказательства, что затухание максимально и может быть вычислено по формуле, приведенной выше, при где период волны. Применительно к космологической задаче выразим плотность через время: для Получим компактное выражение для верхнего предела

С течением времени период волны растет пропорционально длине волны:

Введем обозначение для момента, когда так что (11.5.6) перепишется в виде Лишь после момента можно рассматривать затухание гравитационной волны по приведенным формулам. Оказывается, что интеграл затухания сходится:

Вязкость среды не более чем в раз уменьшает энергию гравитационных волн по сравнению с расчетом для идеальной жидкости, учитывающим только адиабатическое изменение энергии волн.

Рассмотрим теперь свойства решения (11.5.2) при В период, когда длина волны меньше это решение описывает еще не волны в привычном смысле. Дело в том, что с начала расширения Вселенной прошло времени слишком мало даже для одного колебания волны.

Важно, что одно из независимых решений конечно при Следовательно, если положить то такие ограниченные начальные возмущения метрики совместимы с конечной плотностью энергии на более поздних стадиях расширения. По порядку величины отношение равно квадрату безразмерного возмущения метрики плотность энергии электромагнитного

излучения). Это соотношение справедливо для гравитационных волн, длина которых мала по сравнению с горизонтом, но при этом условии оно не зависит от длины волны. Такое соотношение поддерживается и до и после момента рекомбинации водорода, поскольку изменяется пропорционально , т. е. так же, как и К роли гравитационных волн в космологии мы вернемся в гл. 16.