§ 5. Первое приближение и евклидово пространство

Выше мы систематически сравнивали общие результаты, полученные для различных космологических моделей, с простейшей классической картиной евклидовой Вселенной, в которой определено единственное элементарное понятие расстояния количество получаемого наблюдателем света от неподвижного источника убывает, как объем растет, как , а общая плотность вещества никак не влияет ни на структуру пространства, ни на наблюдаемые зависимости.

Точные формулы, относящиеся к теории расширяющейся Вселенной, зависят как от плотности материи, так и от ее уравнения состояния; в частности, выше давались формулы для

Ясно, что при экспериментальном исследовании в первую очередь и с большей точностью будут получены данные в более близких к нам областях. Естественно при их обработке разложить теоретические формулы в ряд по возрастающим степеням или . В этом ряду первый член обязательно должен совпадать с классической

картиной, а следующие члены представляют собой поправки к этой картине. При этом под классической картиной мы понимаем расширяющуюся Вселенную в ньютоновской теории, без каких-либо релятивистских эффектов.

Но поправки, зависящие от кривизны пространства, пропорциональны квадрату расстояния. Эти поправки должны быть пропорциональны плотности, а чтобы получить безразмерную величину, нужно взять комбинацию Расстояние пропорционально красному смещению, следовательно, указанные поправки порядка Да. Отсюда следует вывод, что формулы, в которые включены только члены первого порядка по могут быть получены без учета кривизны пространства.

Рассмотрим картину движения в евклидовом пространстве и лабораторном времени, пользуясь ньютоновской теорией тяготения. Систему координат выбираем так, что наблюдатель находится в начале координат и покоится. За нуль времени берем сегодняшний момент (момент наблюдения), а не так, как выше, где принималось в момент сингулярности Рассматриваем случай Для сегодняшнего момента, т. е. при имеем заданную постоянную во всем пространстве плотность вещества и хаббловское поле скоростей

Напишем гидродинамические уравнения неразрывности и движения:

и найдем первые члены разложения решения в ряд по малому

Вспоминая определения последнюю формулу перепишем так:

Рассмотрим распространение света и красное смещение. Уравнение луча, приходящего в начало координат в момент есть

где расстояние тела от начала координат в момент испускания (в этот момент, очевидно,

Учтем сначала только красное смещение, связанное с доплер-эффектом движения источника света. Мы обозначим эту часть красного смещения через

Частота света со в лабораторной системе, испущенного с частотой частицей, движущейся со скоростью и, дается формулой специальной теории относительности:

Мы строим формулы, включающие поправки к классическим формулам порядка А, но не более высокие. Поэтому и выражение разлагаем в ряд и оставляем только

Для получения полного красного смещения с нужной точностью теперь необходимо еще учесть изменение частоты света при его движении в поле тяжести от точки испускания до начала координат:

где ньютоновский гравитационный потенциал.

Из уравнения Пуассона

и из сферической симметрии задачи находим

В нашем приближении заменим на на и найдем

Подставим сюда выражение скорости (3.5.3) и выразим момент испускания через с помощью (3.5.4). Подставляя затем выражение получим окончательно в нужном приближении (опуская члены порядка и выше):

Решая это уравнение с нужной точностью, получим

и, соответственно, для момента испускапия света, который придет в точку наблюдения (начало координат) с данным красным смещением в момент

Напомним, что есть расстояние источника именно в момент испускания света, который принят в момент с красным смещением наблюдателем, находящимся в начале координат.

Выражение выведенное выше, совпадает с первыми двумя членами разложения в ряд по степеням общей формулы (3.3.9).

В нашем приближении — приближении евклидовой геометрии — расстояние имеет единственный смысл. В этой геометрии очевидным образом находится угловой размер источника, абсолютный размер которого равен Угловое расстояние — это и есть так что

Поправка к элементарной формуле евклидовой геометрии (причем связана только с поправками к линейной зависимости между расстоянием в момент испускания света и красным смещением.

Как было показано выше [см. (3.3.20)],

откуда, разлагая в ряд и оставляя члены первого порядка по найдем

Найдем выражение для массы заключенной внутри сферы радиуса в момент испускания света. Подставляя из (3.5.13) в (3.5.2), найдем

Теперь легко найти производную

Величина в квадратных скобках есть функция [см. (3.3.25) или, точнее, первые два члена разложения ее в ряд Тейлора:

Выведенные формулы дают все сведения, необходимые для обработки наблюдений при не слишком больших

Выше рассматривался только случай . В случае произвольного давления гравитационное поле и ускорение силы тяжести зависят от комбинации тогда как выражение критической плотности не изменяется. Поэтому при надо везде подставить вместо величину

В частности при [Если ]

Соответственно и обработка наблюдений (для области дает именно величину в сущности, мы измеряем ускорение силы тяжести. Если то для Вселенной, заполненной обычным веществом, и мир замкнут. Но для Вселенной, заполненной в основном квантами и нейтрино, в этом случае и мир открыт.

В ряде книг и обзоров расширяющаяся Вселенная характеризуется двумя параметрами:

где расстояние между двумя точками среды.

Так как расстояние между любой парой объектов пропорционально радиусу мира то формулы (3.5.21) эквивалентны формулам

Константа есть не что иное, как постоянная Хаббла, Величина зависит плотности:

Вместо иногда вводят безразмерный коэффициент ускорения [см. (1.2.6)], который можно выразить через

Итак, в случае критическое значение отделяет замкнутый мир (при от открытого . В случае критическое значение Вывод из рассуждений данного параграфа заключается в том, что формулы, линейные по и содержащие поправки порядка (но не Да), не содержат эффектов кривизны пространства и могут быть последовательно выведены в евклидовом пространстве с помощью ньютоновской теории тяготения (с учетом гравитационного изменения частоты кванта и точной формулы доплер-эффекта).

В заключение параграфа перепишем формулу (3.5.15) в виде, привычном для астрономов, т. е. перейдем к звездным величинам и параметру

где выражение для дается формулой (3.4.22). Формула (3.5.25) справедлива для Она была получена Гекманом (1942), Робертсоном (1955), Мак-Витти (1956).