§ 4. Векторные (вращательные) возмущения

Рассмотрим второй тип возмущений метрики — (11.2.2).

Развитие вращательных возмущений определяется формулами

так что для имеем

Главный результат интуитивного анализа — независимость возмущений скорости от времени — подтверждается. Эта независимость справедлива как при так и при т. е. при Но неожиданным является рост возмущений метрики при Это приводит к выводу, что начальные возмущения вращательного типа несовместимы с космологическим решением типа Вселенной Фридмана [Озерной, Чернин (1967, 1968), Зельдович, Новиков (1970)]. Результат является тем более неожиданным, что кажется естественным взять отношение в качестве меры отклонения возмущений от решения Фридмана, а это отношение остается постоянным при Тот факт, что две безразмерные величины и а имеют разную асимптотику при нуждается в объяснении. Необходимо напомнить, что скорость и, определяемая согласно Лифшицу [см. (11.4.1), (11.4.2)], в некотором смысле не является полной скоростью. Как мы уже неоднократно подчеркивали, понятие скорости связано с выбором системы отсчета и поэтому относительно. Важными абсолютными характеристиками возмущений являются абсолютное вращение элементов вещества

и изменение характера его деформации. Вращательные возмущения исчерпываются этими двумя характеристиками. В то время как скорость полностью описывает в данном случае вращение элементов среды, она не исчерпывает ее деформации. Это связано с тем, что система отсчета сама не вращается (она синхронна, это означает отсутствие вращения, см. ТТ и ЭЗ) и все вращение среды связано с ее движением в системе. Но сама синхронная система деформируется, и это необходимо учитывать. При вычислении деформации среды надо учесть деформацию возмущенной системы отсчета, в которой проводится все рассмотрение. Деформация среды складывается из деформации, вызванной движением относительно системы отсчета, и деформации самой системы отсчета.

Скорость, определяемая (11.4.2), соответствует сдвиговому движению (например, движению вдоль оси у, причем скорость зависит от которое совмещает и вращение и деформацию элемента среды.

Напомним, как описывается относительное движение соседствующих элементов среды Вводим систему координат, движущуюся вместе с избранной частицей, находящейся в данный момент в начале координат, и требуем, чтобы система координат была локально евклидовой и локально инерционной. Из условия следует, что скорости соседних частиц в близкие моменты времени в первом порядке по малым можно записать как

Здесь трехмерный вектор ускорения жидкости, зависящего от негравитационных сил (в рамках гидродинамики такой силой является градиент давления).

Тензор второго ранга в трехмерном пространстве разбивается на две части: антисимметричную и симметричную Антисимметричная часть описывает вращение жидкости: угловая скорость дается аксиальным вектором где единичный, полностью антисимметричный тензор. Она может быть измерена в сопутствующей системе по появлению кориолисовых ускорений. Деформация элемента среды полностью определяется симметричным тензором

Отметим принципиальную разницу между с одной стороны, и с другой. Измерение требует введения приборов, например свободных пробных тел и гироскопов. Для

определения достаточно измерить расстояния между системой избранных частиц среды.

След тензора, т. е. (он не зависит от выбора осей), определяет изменение удельного объема среды при деформации, плотность сохраняющихся частиц). Остающийся тензор с нулевым следом Пар характеризует анизотропию деформации среды: под действием Пар шар превращается в равновеликий трехосный эллипсоид. Тензор имеет пять независимых компонент: два отношения осей эллипсоида, характеризующие его форму, и три угла, характеризующие ориентацию в пространстве. Приведенные выше формулы требуют, чтобы в рассматриваемой точке в данный момент метрика была галилеевой остальные Формулы, позволяющие вычислить тензор скоростей деформации и также и А не переходя к галилеевой системе, а сразу по величинам приведены в ТТ и ЭЗ. Здесь нам потребуется только частный случай одной из этих формул. Прежде чем ее выписать, вернемся к рассматриваемой нами задаче.

Мы хотим вычислить деформацию элемента среды в возмущенной задаче. Мы убедимся после вычислений, что вращательные возмущения приводят к тому, что элемент деформируется существенно анизотропно в отличие от строго изотропной деформации в невозмущенной Вселенной Фридмана. Именно эта анизотропия деформации быстро нарастает в прошлое Она описывается ростом при приближении к сингулярности и растет, несмотря на то что вращательные скорости остаются малыми. В конце параграфа мы приведем физическое пояснение этой ситуации.

Итак, займемся вычислениями деформации элемента среды. Как уже подчеркивалось, полная деформация равна сумме деформации системы отсчета, в которой рассматривается вся задача, и деформации, вызванной скоростью движения среды в системе отсчета. Начнем с деформации системы отсчета. Общая формула для вычисления [см. ТТ и ЭЗ, формула (1.6.4)] для синхронной системы записывается в виде

Вторая часть деформации, связанная со скоростями, может быть вычислена стандартным в гидродинамике способом как

производная скорости по координатам. Однако, как мы видели выше, относительная скорость мала и остается постоянной. Относительная величина отклонений деформации среды от изотропной, связанная с этой скоростью, не нарастает в прошлое, поэтому и без вычислений ясно, что этим слагаемым в деформации среды можно пренебречь по сравнению с (11.4.3) при

Итак, при полная анизотропия деформации среды описывается (11.4.3). Из этой формулы видно, что отклонение возмущенного решения вихревого типа от фридмановского при связано не прямо с вращательными скоростями вещества, а с вызванной этими скоростями анизотропией деформации. Этот эффект является чисто релятивистским.

Проведем вычисление анизотропии деформации среды. Перепишем уравнение (11.4.3), используя (11.4.2):

Здесь тензор скоростей деформации системы невозмущенного решения, вместо подставлено его значение (11.4.2) для вихревых возмущений [множитель появился при опускании индекса не зависит от Вычислим теперь анизотропную часть этого тензора, Отличные от нуля члены имеют следующий порядок величины (учитываем, что для

Величины есть отклонения хаббловских констант по разным направлениям от средней хаббловской константы Относительная величина этих отклонений

На первый взгляд кажется, что этого нарастания анизотропии деформации можно избежать, если в качестве возмущения взять твердотельное вращение в заданном лагранжевом масштабе. При этом в ньютоновском приближении деформация отсутствует вовсе. Казалось бы, скорость вращения и, остающаяся все щэемя постоянной и малой, не может привести к сильным релятивистским эффектам. Однако это не так, потому что возмущение любого масштаба при оказывается глубоко внутри гравитационного радива массы, который оно охватывает. Вся задача становится

существенно релятивистской, и даже малая скорость и приводит к сильным эффектам. Помимо малого параметра в задачу входит еще большой параметр длина возмущения), и релятивистские эффекты определяются произведением этих двух параметров. Формула (11-4.5) может быть переписана так:

В рассматриваемой задаче с твердотельным законом вращения возмущения тождественно отсутствуют лишь на оси вращения, где скорость и равна нулю.

Произвольные возмущения вихревого типа остаются малыми при движении к сингулярности, до тех пор, пока

Ясно, что для каждой длины волны возмущения наступает в прошлом момент, когда сравнивается с Длины в нашем случае пропорциональны Поэтому, согласно (11.4.6), для критического момента, когда должно быть т. е.

В период расширение сильно отличалось от хаббловского. При обсуждении вихревой теории происхождения галактик (см. гл. 13) эти выводы необходимо учитывать. По существу, сильное отличие от невозмущенной модели заключено уже в том, что безразмерные возмущения метрики стремятся к бесконечности, как вблизи сингулярности при Анализ деформаций, проведенный выше, помогает наглядно понять характер отклонений от невозмущенной модели с точки зрения локального наблюдателя. Тем самым с несомненностью доказывается объективный характер нарастания отклонений от модели Фридмана, которые не устраняются каким-либо преобразованием координат.

В заключение параграфа приведем формулы для вихревых возмущений на поздней стадии при уравнении состояния В отличие от потенциальных движений, рассмотренных в предыдущем параграфе, здесь при наличии вращения вещества синхронная система не может быть сопутствующей даже при

Формулы для возмущения имеют следующий вид:

при

при

В обоих случаях скорости затухают