§ 4. Ограничения и сложности линейной теории

Одна из основных задач теории гравитационной неустойчивости заключается в следующем. Пусть задан в некоторый момент (например, при спектр возмущений. Требуется сделать выводы о том, когда возникнут из возмущений отдельные объекты и каковы их свойства (масса и др.). Сравнительная легкость расчета эволюции спектра после того, как задан начальный спектр, создает соблазн быстрого вывода. Необходимо уделить внимание трудностям и ограничениям, возникающим при таком подходе.

Представим себе, что распределение плотности задано и, для простоты, растет, оставаясь подобным начальному распределению. Хотелось бы взять часть пространства с (или с с некоторым определенным 60) как предвестник выделяющегося объекта. Можно рассчитать число таких частей, объем каждой части и содержащуюся в ней массу. Окончательный ответ должен носить статистический характер — должен дать функцию распределения объектов по массе и другим свойствам, например значению скорости, моменту импульса и т. д.

Первая практическая трудность состоит в том, что рассчитать свойства поверхностей данного уровня для функции, заданной ее фурье-разложением, — не простая задача [см. Дорошкевич Ответ в окончательном виде неизвестен. Предпринимались попытки численных экспериментов. В двумерном случае Пиблс (19696) предложил остроумный метод оптического моделирования эксперимента.

Некоторые принципиальные трудности можно предвидеть. Если больше, чем среднеквадратичное отклонение то часть пространства с мала и распределена в виде островков, окруженных «морем» с Если же мало или то топология частей с очень не похожа на топологию определенных астрономических объектов. Например, поверхности могут быть замкнуты вокруг «объекта» с но с равной вероятностью эти поверхности могут быть замкнуты вокруг «дыры», окруженной более плотным веществом.

Глубокие корни трудностей лежат в том, что астрономические объекты есть результат сильной нелинейности, они характеризуются для наименее плотных объектов — скоплений галактик). Эта нелинейность полностью уничтожает симметрию между характерную для линейной теории. Очевидно, что пространство с или занимает долю не больше, чем 2% всего пространства: ни в какой части пространства нет (и даже потому что везде плотность положительна.

Образование астрономических объектов должно описываться нелинейной теорией. Некоторые гипотезы и результаты, полученные нелинейной теорией, изложены в следующей главе.

Чтобы закончить со статистической теорией, необходимо упомянуть вопросы, связанные с фурье-разложением случайных функций в бесконечном пространстве. В конечном объеме V мы работали с суммами. Число функций в данном интервале волнового вектора равно когда V возрастает, число слагаемых в выражении увеличивается. Но эти слагаемые имеют случайную величину. Следовательно, их сумма пропорциональна квадратному корню из их числа. Каждое слагаемое в сумме должно быть пропорционально Эти свойства необходимо иметь в виду, чтобы понять смысл интеграла . В линейной теории закон эволюции был получен для дискретных волн, т. е. для отдельных членов суммы. Когда же делается переход к бесконечному объему и интегралу, необходимо иметь в виду, что сумма квадратов по определенному объему в -пространстве играет роль квадрата амплитуды данной волны, т. е.

В ходе космологического расширения уменьшается, где красное смещение. Для одной волны закон эволюции (для простейшего случая плоской космологической модели, заполненной пылевидным веществом) имеет вид

Для амплитуды интеграла Фурье

или, точнее, зная величину при некотором можно вычислить при любом по формуле

При этом есть волновой вектор в физическом (не в сопутствующем!) пространстве. Здесь снова выявляется удобство введенных выше безразмерных функций массы и [см. формулы (12.2.7) и (12.3.1)]. По порядку величины Постоянному значению аргумента соответствует постоянный объем сопутствующего пространства. В ходе эволюции меняются по тому же закону, что и безразмерная амплитуда отдельной волны.