ГЛАВА 2. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ОДНОРОДНОЙ ИЗОТРОПНОЙ ВСЕЛЕННОЙ

§ 1. Уравнения тяготения Эйнштейна и космологические уравнения Фридмана

В предыдущей главе локальные свойства однородной изотропной космологической модели были получены в рамках ньютоновской теории. Разумеется, для последовательного рассмотрения космологической проблемы ньютоновской теории недостаточно. Действительно, в § 1 гл. 1 нам приходилось предполагать, что в рамках ОТО, так же как и в классической ньютоновской теории, внутри сферической полости, выделенной во Вселенной, однородное, изотропно расширяющееся внешнее вещество никакого гравитационного поля не создает. Для доказательства, разумеется, надо обратиться к ОТО. Кроме того, уравнения ОТО совершенно необходимы, когда мы от локальной проблемы переходим к изучению больших областей пространства, в которых собственное тяготение вещества уже не мало и не мала скорость расширения. Рассмотрение таких областей совершенно необходимо при анализе распространения света от далеких галактик, подсчете слабых галактик и т. д.

Итак, после элементарного разъяснения сути законов расширения Вселенной обратимся к последовательному их выводу из уравнений Эйнштейна. Мы предполагаем, что читатель знаком хотя бы с элементарными основами ОТО. Для понимания дальнейшего достаточно сведений об ОТО, изложенных в гл. 1 ТТ и ЭЗ. Непревзойденным по четкости и экономности остается изложение ОТО в последних главах «Теории поля» Ландау и Лифшица.

Мы будем строить однородную изотропную модель Вселенной, т. е. модель, в которой все точки равноценны и все направления эквивалентны, ничем не выделены. В такой модели трехмерное пространство должно быть однородным и изотропным. Конечно, это трехмерное пространство вовсе не обязано быть евклидовым пространством, так как согласно ОТО геометрические свойства пространства зависят от материи, ее плотности и движения. Это может быть любое однородное изотропное трехмерное пространство. Из математики известно, что таким пространством является пространство постоянной кривизны (не зависящей от направления и от

пространственных координат). Квадрат элемента длины в таком пространстве записывается в виде

где , величина а — постоянная, имеющая размерность длины. Если то мы имеем дело с обычным евклидовым пространством (иногда его называют «плоским» пространством) и обычные декартовы координаты. При пространство называют пространством постоянной положительной кривизны, при пространством постоянной отрицательной кривизны. Величину а называют радиусом кривизны пространства, а величину (гауссовой) кривизной пространства. Мы отложим рассмотрение геометрических свойств этих пространств до следующих параграфов.

Радиус кривизны а является естественной единицей длины для измерения расстояний в случае Поэтому перейдем к новым безразмерным координатам:

Теперь (2.1.1) перепишется в виде

Выражение (2.1.3) формально справедливо и для только в этом случае а — произвольный масштабный множитель. Для евклидова пространства масштаб а ничем не выделен и может быть выбран произвольно. Рассматривая а как переменную величину (функцию времени), можно описать деформацию системы отсчета.

Теперь нашей задачей является написать выражение для четырехмерного интервала Пространственную часть интервала мы уже выписали [см. (2.1.3)].

В системе отсчета, в которой трехмерное пространство однородно и изотропно и метрика которого имеет вид (2.1.3), материя не может двигаться относительно системы отсчета. Действительно, скорость движения выделяла бы некоторое направление в каждой точке и, следовательно, нарушала бы изотропию. Таким образом, система

отсчета (2.1.3) является сопутствующей. Выберем в качестве координаты времени собственное время каждой частицы. Тогда Наконец, все компоненты должны быть тождественно равны нулю. В противном случае они составляли бы трехмерный вектор, также нарушающий изотропию.

Итак, выражение для может быть записано в виде

В выражении (2.1.4) координаты х, у, z являются лагранжевыми координатами частиц материи, так как материя не движется относительно системы отсчета. Все движение материи описывается деформацией самой системы отсчета. Масштабный множитель в выражении (2.1.4) зависит только от времени, Его возрастание с течением времени описывает расширение системы отсчета, увеличение всех расстояний в системе отсчета, а значит, и расширение всего вещества, так как система отсчета является сопутствующей. Напомним, что физическое расстояние между любыми близкими частицами в нашей модели есть согласно (2.1.3), пропорционально поскольку постоянны. Из уравнений Эйнштейна нам остается найти единственную неизвестную функцию

Уравнения Эйнштейна записываются в следующем виде:

Здесь тензор Риччи, его след; оба они являются функциями от их первых и вторых производных, — символы Кронекера, тензор энергии-импульса материи. В космологии в качестве материи чаще всего рассматривается газ. Это может быть и «обычный» газ, и газ, «молекулами» которого являются галактики, и ультрарелятивистский газ фотонов и т. д. В этом случае компоненты тензора энергии-импульса записываются в виде

где четырехмерная скорость материи. В сопутствующей системе отсчета [как в нашем случае (2.1.4)] компоненты отличные от нуля, суть

В однородной изотропной Вселенной и могут зависеть только от времени, но не от пространственных координат. Нашей задачей является подставить компоненты из (2.1.4) в уравнения Эйнштейна (2.1.5), подставить туда же (2.1.7) и определить три неизвестные функции от времени: По существу, неизвестных функций только две: так как и связаны уравнением состояния вещества.

Упомянутые подстановкй после несложных преобразований приводят к двум уравнениям:

где может принимать значения Эти уравнения связаны тождеством (при любом

Уравнения (2.1.8), (2.1.9) описывают зависимость а от (т. е. всех масштабов модели от времени) и от Они совпадают с уравнениями (1.6.2) и (1.6.5) соответственно, с той лишь разницей, что заменено на а и произвольная в (1.6.5) на в (2.1.9). Мы помним, что в предыдущей главе радиус шара выбирался произвольно, нас интересовала лишь зависимость всех масштабов от времени. Следовательно, для этой зависимости от времени уравнения ОТО дают точно такие же результаты, как и ньютоновская теория в предыдущей главе.

Уравнения (2.1.8) — (2.1.10) носят название космологических уравнений Фридмана [Фридман (1963)]. Их решение подробно проанализировано в предыдущей главе.

В заключение приведем (табл. I) аналитические формулы решения уравнение (2.1.8) — (2.1.10) для двух важных случаев уравнения состояния: Решения записываются в параметрическом виде. Последний столбец таблицы дает отношение текущей плотности к текущей критическои плотности где

ТАБЛИЦА 1 (см. скан) Параметрическая зависимость радиуса кривизны пространства а, постоянной Хаббла и плотности от времени