§ 15. Теория тяготения Бранса — Дикке и ее космологические следствия

Указанная в заглавии теория, именуемая далее кратко ТБД [см. Бранс, Дикке (1961); Дикке (1962, 1964, 1968)], тесно связана с принципом Маха. В этой теории, так же как и в ОТО, рассматривается неевклидово, искривленное -мерное многообразие — пространство-время.

В этом многообразии, наряду с известными частицами и полями, рассматривается еще гипотетическое «ранее неизвестное» скалярное безмассовое поле, так называемое ф-поле. Авторы вводят его необычным способом, поэтому в теории тяготения и в космологии ф-поле играет роль, существенно отличающуюся от роли других полей например скалярного поля нейтральных пионов.

В первоначальной формулировке ТБД в действии скаляр кривизны умножается на функцию

Таким образом, полное действие ТБД состоит из трех членов:

где V — четырехмерньш объем, лагранжиан известных частиц и полей, — лагранжиан -поля, также имеющий не вполне обычный вид:

где запятая означает ковариантное дифференцирование, а есть безразмерный численный параметр. Специфика ТБД заключена в том, как написан первый член.

Идеи, связанные с такой записью, заключаются в том, что при теперь нет теории тяготения, так как исчезает член, описывающий упругость пространства (исчезает R). С другой стороны, поле оказывается зависящим от распределения материи во всем пространстве. Таким образом, в ТБД, в соответствии с идеями Маха, лишь при наличии (обычной) материи оказывается возможным найти метрику и определить локально инерциальную систему координат. На протяжении данного параграфа много раз будут употребляться выражения типа «удается», «оказывается», «соответствует»; надо сразу же сказать, что эти выражения не означают, что ТБД правильна и адекватно описывает природу. «Соответствие» принципу Маха, с точки зрения авторов ТБД, является достоинством теории. Но принцип Маха не доказан (см. § 11) и «соответствие»

ему не есть доказательство правильности ТБД. То же относится и к другим свойствам ТБД.

Дифференциальные уравнения ТБД получаются, естественно, варьированием приведенного выше действия. Варьирование метрики приводит к уравнениям, похожим на уравнения стандартной ОТО. Скалярное поле также дает обычный вклад в Тензор энергии-импульса Тнаряду с тензором обычной материи Но эффективная гравитационная «постоянная» не является больше универсальной константой, на ее место входит причем есть функция точки! Итак, имеем

Варьируя действие по получим уравнение

Но так как в свою очередь, выражается через то уравнение можно переписать так, чтобы выявить роль материи как источника поля:

В правую часть последнего уравнения входит скаляр след тензора энергии-импульса, т. е. плотность энергии, точнее, для «пыли» (при или для жидкости. Любопытно, что для ультрарелятивистского газа следовательно, Все операции (дифференцирование, производятся, как уже говорилось, в неевклидовом пространстве-времени.

В ТТ и ЭЗ рассматривались разные варианты теории тяготения в плоском пространстве-времени: тензорный, векторный и скалярный. Скалярный вариант связывался с именами Бранса и Дикке и ЭЗ, стр. 104). Более точно, следует сказать, что в ТБД роль скалярной функции сложнее, функция не является аналогом скалярного ньютоновского потенциала. ТБД содержит безразмерный свободный параметр Наблюдаемые выводы зависят от избранного значения При этом соответствует стандартной ОТО.

Итак, характерной особенностью ТБД является тот факт, что гравитационная «постоянная» оказывается функцией точки, и функция эта подчиняется определенным уравнениям, в которых в роли источника выступает материя. Безразмерные величины где масса и заряд элементарных

Частиц, не являются постоянными. Вся остальная «физика», характеризуемая числами одинакова во всем пространстве и

всегда. ТБД напоминает теории Иордана (1948, 1955) и Дирака (1938), в которых также не является постоянной. Выгодным отличием ТБД (в связи с которым мы подробнее останавливаемся именно на этой теории) является то, что в ТБД не предполагается изменение числа частиц, ТБД не вступает в противоречие с законами лабораторной физики.

Как показал Дикке (1962), возможна и другая, эквивалентная формулировка теории, в которой поле прямо взаимодействует со скаляром вещества, гравитационная постоянная (без кавычек) постоянна, но зато эффективные массы всех частиц зависят от следовательно, не постоянны. Не постоянна и локально наблюдаемая величина как и раньше, в первом варианте ТБД (см. выше).

На первый взгляд такой вариант теории ближе к привычным уравнениям, результаты легче поддаются интерпретации. Однако в действительности, если масса элементарных частиц переменна, то, следовательно, атомные часы идут непостоянным темпом, атомная единица времени и атомная единица длины зависят от локального мгновенного значения скалярного поля Время и длина, измеренные атомными стандартами, не совпадают с тем временем и длиной, которые входят в определение метрики (после локального приведения к форме Минковского). Таким образом, в интерпретации любого эксперимента возникают осложнения. По этой причине будем придерживаться ниже первого варианта теории, в котором -поле взаимодействует непосредственно с кривизной Я, но не с материей, так что гравитационная «постоянная» не постоянна но зато постоянны массы. Для того чтобы определить нужно не только уравнение и задание источников, но нужны и начальные и граничные условия. Далекие источники влияют на в данной точке с коэффициентом, обратно пропорциональным расстоянию число таких источников возрастает с расстоянием пропорционально Поэтому в первом приближении поле определяется далекими источниками и можно считать его постоянным, не зависящим от пространственных координат (даже в Галактике, или в Солнечной системе, или на Земле, несмотря на гигантские отличия плотности от среднего космологического значения). В случае простейшего космологического решения (однородная и изотропная модель, «пыль», плоский мир, при

получается

При это решение содержит стандартные результаты: и постоянны,

В частности, при предсказывается изменение константы тяготения (или массы частиц):

где постоянная Хаббла.

В теории Дирака в 10 раз больше. Точность радиолокационных межпланетных измерений расстояний позволяет надеяться на прямой ответ — есть ли такие изменения — на протяжении ближайших 10 лет. Сейчас эксперименты Шапиро (1965), Шапиро и др. (1971, 1972) дают не более

В настоящее время более интересны тесты, не требующие долгого ожидания. Наблюдаемые выводы ТБД развиты подробно. ТБД дает поправки к классическим тестам ОТО. Отклонение а луча при прохождении вблизи края Солнца в ТБД выражается формулой изменяется также вековое смещение перигелия Меркурия.

Измерения последних лет неблагоприятны для последние данные дают для а величину, из которой следует, что или Смещение перигелия Меркурия согласуется с ОТО с очень хорошей точностью.

Дикке (1964) полагал, что гравитационное поле Солнца обладает значительным квадрупольным моментом. Совпадение смещения перигелия с ОТО, по его мнению, является результатом случайной компенсации двух поправок — одной, связанной с ТБД, и другой, зависящей от квадрупольного момента Солнца. Доказательство квадрупольного момента Дикке видел в сплюснутости солнечного диска. Новые данные Хилла и др. (1974) показывают отсутствие сплюснутости Солнца. Небесно-механические следствия ТБД рассматриваются в ряде работ [Нутку (1969), Шапиро и др. (1971, 1972), Финкельштейн и Крайнович Эти следствия до сих пор не нашли экспериментального подтверждения.

Специфическим предсказанием ТБД являются продольные гравитационные волны (точнее, волны -поля). Измерения типа веберовских в момент взрыва близкой сверхновой могли бы

подтвердить ТБД или дать чувствительную оценку параметра Даже при малых отклонениях от ОТО (т. е. при большом эффект может быть значительным, так как излучение скалярных волн (в отличие от гравитационных волн в происходит также и при сферически-симметричных колебаниях или коллапсе [Дикке (1964); Гуревич и Дынкин (1972)]. «Обычные», предусмотренные ОТО, гравитационные волны являются тензорными и излучаются лишь постольку, поскольку колеблющееся или коллапсирующее тело отклоняется от сферической симметрии, имеет квадрупольный момент (см §2 гл. 16 и более подробно ТТ и ЭЗ). Как известно, однако, повторение опытов Вебера не подтвердило наличие импульсов, скалярные волны также не наблюдались. Итак, с ТБД возникла часто встречающаяся ситуация. Нет экспериментальных доказательств недостаточности ОТО, нет экспериментальных аргументов в пользу ТБД. Вместе с тем, благодаря предусмотрительно введенному параметру все недовольные жесткой формой стандартной ОТО имеют право перевести вопрос в количественную плоскость. Такие исследователи говорят, что ТБД не опровергнута, но лишь подвергнута количественному ограничению.

Каковы космологические следствия ТБД?

Для «пыли» и при определенном выборе начальных условий выше выписана формула (23.15.5), показывающая, как меняется показатель в космологическом решении. Для ТБД уравнение состояния является особым. Существенны отклонения от этого закона. Нуклеосинтез в ТБД рассмотрен в работе Дикке (1968). В первом варианте теории с постоянными массами элементарных частиц и с временами, измеренными по атомным часам, суть изменений нуклеосинтеза сводится к тому, что в космологии в ТБД ускоряется темп космологического расширения. Но мы знаем, что ускоренное расширение приводит к увеличению доли нейтронов, выживающих после адронной эры. При увеличении скорости расширения в раз при от 10 до 1000 содержание гелия оказывается больше 40%, что недопустимо. При от 1000 до содержание гелия меньше 10%, но недопустимо велико предсказываемое количество дейтерия Поэтому необходимо Конкретно Дикке отстаивает скалярно-тензорную космологическую модель с (соответствующую с практически нулевым содержанием гелия. Однако если (как указывают, по-видимому, небесно-механические и радиоизмерения в Солнечной системе), то в космологии возникнут трудности!

Отметим, что в ТБД, наряду с «обычными» решениями с начальным условием можно также рассматривать решения с или т. е. со «свободным» ф-полем. Эти решения обладают любопытными особенностями. Поле ведет себя в определенных условиях как предельно жесткое вещество. При определенном выборе параметров и возможен плавный

переход от сжатия к расширению в изотропной (фридмановской) модели.

Положительное когда сингулярность сохраняется (но зависит от -поля, а не от материи), рассмотрел Гринстейн (1968), см. также Моргенстерн (1973), а для анизотропных решений — Белинский и Халатников (1972), Рубан и Финкельштейн (1973), Матцнер, Райан и Бтон (1973). Принципиально новый случай отрицательного рассмотрели Гуревич, Финкельштейн и Рубан (1973). На первый взгляд отсутствие сингулярности в этом случае реализует давнишнюю мечту теоретиков (и философов). Сингулярность означает необходимость привлечения новых теоретических идей, только несингулярное решение является полным и логически замкнутым. Однако, избавившись от сингулярности, мы сталкиваемся с новыми вопросами: как происходил нуклеосинтез? каким образом получилось равновесное планковское реликтовое излучение? Бесконечная плотность, может быть, и не является необходимой, но плотность порядка и температура выше нужны для понимания наблюдаемой картины Вселенной.

Наконец, наиболее важна принципиальная трудность: избавление от сингулярности возможно лишь в рамках теории с полем, которое может дать отрицательную плотность энергии. Без отрицательной плотности энергии сингулярность неизбежна — в этом состоят теоремы Пенроуза и Хоукинга (см. § 2 гл. 22). Но поле, дающее отрицательную плотность энергии, способно также вызвать «взрыв вакуума». В квантовой теории такого поля в вакууме (плоском, стационарном!) могут рождаться кванты этого поля вместе с обычными частицами. Как было показано Зельдовичем (1974), такое спонтанное рождение частиц противоречит наблюдениям.

Подведем итог обсуждению ТБД. Разнообразие решений оказалось значительно большим, чем предполагали авторы теории. Появились новые, не связанные с идеями Маха, варианты, рассматриваются свободные поля. Появляется значительное число публикаций по ТБД. Несмотря на это, наблюдения и общие соображения, выдвинутые в последние годы, неблагоприятны для ТБД, и представляется вероятным, что в ближайшие годы интерес к ТБД исчезнет.