§ 6. Распределение по видимым величинам

В классическом случае, когда можно не учитывать кривизну пространства, влияние красного смещения на яркость и эволюционный эффект, получаются общеизвестные четкие зависимости для распределения объектов данного типа по видимой величине.

Рассмотрим объекты с абсолютной светимостью Плотность распределения таких объектов в пространстве обозначим Количество света, получаемое наблюдателем от каждого объекта, находящегося на расстоянии

так что

Число объектов внутри шара радиуса дающих световой поток больше равно

Соответствующий дифференциальный закон:

Пользуясь величиной найдем

Хорошо известно, что при наличии объектов разных типов (светимостей) этот закон не изменяется. Для дальнейшего полезно привести элементарное доказательство. Пусть в элементе объема имеется определенное распределение объектов по абсолютной величине или, что то же, по светимости. Именно, пусть число объектов со светимостью между есть

Распределение нормировано на единицу, так что есть доля объектов с данным в интервале а общая их плотность равна Для каждой группы объектов светимостью между находящихся на разных расстояниях и потому дающих разное получим

Знак означает, что справа стоят два дифференциала Интегрирование по можно выполнить отдельно; получим

где

Таким образом, закон распределения объектов по видимой величине, не изменился, только вместо одинаковой светимости всех объектов в (3.6.3) теперь вошла величина А, определенным образом взвешенная по распределению Это взвешивание

несколько отличается от того выражения, которое дает полное количество света, испускаемого единицей объема.

В расширяющейся Вселенной для объектов данной абсолютной величины получается более сложный закон, так как видимая и абсолютная величины и число объектов в данной сфере связаны сложными, не степенными зависимостями. Кроме того, при больших расстояниях велико время распространения света от момента испускания до наблюдения. Поэтому надо учесть и эволюционный эффект, т. е. изменение распределения объектов по абсолютной величине со временем. Общие формулы чрезвычайно громоздки и необозримы. Приведем лишь формулу второго приближения, которая может быть получена методом, подобным описанному выше, в предыдущем параграфе, из рассмотрения ускоренного (точнее, замедленного) движения объектов в плоском пространстве. В соответствии со сказанным выше ограничимся везде поправками первого порядка по Распределение объектов по светимости характеризуем функцией

Здесь отсчитывается от сегодняшнего дня, так что в момент испускания общая плотность всех объектов в единице евклидова (не сопутствующего!) пространства. Предполагая, что источники (галактики) не возникают и не уничтожаются, примем, что [см. (3.5.2)]

При этом учет эволюционного эффекта полностью связан с зависимостью от времени. Наконец, видимая звездная величина (или, что то же, связана со светимостью выражением, учитывающим влияние красного смещения [см. (3.4.19а)]:

Четвертая степень получается при рассмотрении болометрической величины. На практике обычно измеряется энергия лишь в определенном интервале длин волн, к которым чувствителен приемник. При этом в формулу войдет где спектральный поток можно приближенно описать формулой [см.

выше (3.3.16) . Выразив через (см. § 5 гл. 6), получим

где а — некоторая константа,

Поскольку весь расчет ведется с точностью до поправок порядка то

Найдем число объектов, расположенных в слое с красным смещением от до и дающих поток света от до Используя выражение (3.5.18), получим

Считая а значит, и малым, разложим в ряд:

где Имея выражение через заменим на и проведем интегрирование в (3.6.16) по при постоянном

В результате получим

Изучение близких галактик позволяет найти их распределение по светимостям для настоящего времени Величина может быть найдена из распределения интенсивности в спектре источника и спектральной чувствительности регистрирующего прибора.

Формула (3.6.18) является решением поставленной проблемы: она описывает распределение объектов в зависимости от потока излучения от них (или, что то же, от их видимой звездной величины). Этот результат можно записать в других, более наглядных формах.

Мы уже раньше предполагали, что эволюционный эффект, т. е. изменение со временем функции зависит не от рождения или исчезновения новых объектов, а исключительно от изменения их абсолютной величины.

Пусть светимость отдельного объекта в зависимости от времени подчиняется дифференциальному уравнению

Функция переписана через для удобства дальнейшего использования.

Из (3.6.19), очевидно, следует:

Это уравнение выражает закон сохранения объектов, движущихся со скоростью вдоль оси

Подставим выражение интеграл в формуле (3.6.18); интегрируя по частям, найдем

Для частного случая одинаковых, синхронно эволюционирующих объектов можно написать

Теперь из (3.6.18) находим

величина, характеризующая эволюцию объектов. По всей вероятности, она отрицательна, как это следует из расчетов [см. Тинсли (1968, 1972), Тинсли и Спинард (1971), Сэндидж (1970), Спинард и Тейлор (1971). Константа имеет размерность т. е. такую же, как и постоянная Хаббла Константа а имеет размерность обратного квадрата расстояния, а и корень в (3.6.23) можно написать в виде

где — это поток, который дал бы в точке наблюдения покоящийся источник находящийся на характерном расстоянии от приемника в евклидовом пространстве. Общую формулу (3.6.18) можно привести к виду, аналогичному (3.6.23).

Определим средневзвешенные по распределению величины с помощью формул

Определим, далее, как поток от источника мощностью на

расстоянии в евклидовом пространстве:

Получим

В этом виде и надо формулу сравнивать с наблюдениями. Практически надо взять из наблюдений величину

Тогда из (3.6.26) следует, что

Откладывая на графике в зависимости от определяем коэффициент

Наблюдатели зачастую искали эмпирическую зависимость вида

пытались учесть для интегральной величины отступления от закона изменением показателя степени. Мак-Витти (1959б) показал, что должно быть действительно, формулы (3.6.26) и (3.6.27) показывают, что показатель степени измениться не может. При больших т. е. на близких расстояниях, всегда показатель равен для интегральной величины для дифференциальной Поправка носит характер разложения по степеням т. е. величины, пропорциональной расстоянию. Выражения (3.6.26) и (3.6.27) (о значении см. примечание на стр. 89) могут быть полезны для обработки наблюдений.

Важнейшее качественное следствие проделанных расчетов заключается в том, что найденный выше первый член разложения по не содержит плотности [соответствующая формула (137) и следующие формулы в обзоре Зельдовича (1965в) ошибочны].

Таким образом, исследования функции распределения объектов по видимой величине относящейся к близким объектам, могут быть полезны для характеристики эволюции объектов в недалеком прошлом и для проверки основного предположения об однородном (хотя бы в среднем) распределении вещества в пространстве.