ГЛАВА 11. ГРАВИТАЦИОННАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ В ОТО

§ 1. Общие принципы и уравнения

Для полного и точного описания развития возмущений с длиной волны , больше или порядка в жидкости с необходимо пользоваться общей теорией относительности (ОТО). Некоторые выводы о законах развития адиабатических возмущений были получены в предыдущей главе без использования ОТО, однако строгое обоснование этих результатов будет дано ниже. В рамках ОТО может быть достигнуто более глубокое понимание свойств вращательных возмущений. Только в ОТО возникают возмущения, связанные с гравитационными волнами.

Вопросы развития возмущений в ОТО были весьма полно проанализированы в классической работе Лифшица (1946), позже обзор этого вопроса дан в работе Лифшица и Халатникова (1963а, б). Задача ставилась следующим образом. В качестве невозмущенного решения берется однородная изотропная модель Фридмана. Тензор энергии-импульса материи считается гидродинамическим: Плотность энергии и давление связаны уравнением состояния: В невозмущенном решении материя покоится относительно системы отсчета и компоненты -скорости равны Задаются малые «возмущения» модели, т. е. возмущается метрический тензор невозмущенный тензор, возмущения) и тензор энергии-импульса и задаются малые скорости определяется из тождества Эти выражения подставляются в уравнении Эйнштейна, которые связывают между собой возмущения и определяют их эволюцию во времени.

Эта задача является типичной задачей Коши; надо задать начальные возмущения и, решая систему уравнений, проследить их эволюцию во времени.

Здесь необходимы следующие пояснения. Первое пояснение касается задания начальных возмущений. В фиксированный момент

времени возмущения не могут быть заданы все независимо друг от друга произвольным образом. Уравнения Эйнштейна накладывают на начальные значения определенные связи. Это соответствует тому факту, что и в общем случае теории относительности начальные значения не независимы, а подчиняются связям, даваемым уравнениями ОТО. Физическая причина существования таких связей заключается в том, что распределение материи определяет создаваемое ею гравитационное поле. Но задание также позволяет вычислить гравитационное поле. Следовательно, не может быть задано независимо. Конечно, в ОТО помимо гравитационного поля, зависящего от материи, т. е. от есть еще и свободное поле (гравитационные волны). Поэтому определяется по не полностью. В классической ньютоновской теории связи между и соответствует уравнение Пуассона которое позволяет по распределению материи (плотности вещества найти гравитационный потенциал Мы не останавливаемся здесь подробно на связях между начальными значениями Математическая сторона дела разобрана, например, в книге Петрова (1966). В нашей задаче необходимые формулы будут приведены в конце параграфа. Отдельные уточнения мы сделаем позже.

Второе пояснение касается выбора системы координат и связанного с этим вопроса о физической трактовке полученных результатов.

В ОТО выбор системы координат произволен. Это вносит серьезные проблемы в правильную интерпретацию результатов. Приведем пример. Пусть мы никак не меняем космологическую модель Фридмана, но рассматриваем ее не в общепринятой сопутствующей системе, а в некоторой другой. Выберем эту другую систему так, чтобы она с течением времени все больше отклонялась от сопутствующей. В формальном решении мы будем видеть, что нарастают и решение все больше «уходит» от фридмановского. Ясно, что в таком «уходе» нет никакой физики, «уход» связан с неудачным выбором системы отсчета. Здесь избавиться от такой «нефизической неустойчивости» легко — надо вернуться к фридмановской системе отсчета. А что делать в том случае, когда фридмановское решение имеет действительные физические возмущения? Как отделить физические отклонения от подобных рассмотренных выше координатных отклонений?

Одним из возможных способов является выбор сопутствующей системы отсчета в возмущенных решении, т. е. выбор системы,

в которой вещество покоится, Действительно, нас интересуют свойства расширяющегося вещества. Если в сопутствующей веществу системе физические величины (но не координатные, так как в выбранной системе отсчета можно еще по-разному выбирать пространственные координаты, например сферические или цилиндрические, и по-разному отсчитывать время; см. ТТ и ЭЗ) мало отличаются от соответствующих величин в решении Фридмана, то, значит, с физической точки зрения возмущения малы.

Лифшиц (1946) и его многочисленные последователи пошли несколько иным путем. Выбиралась для исследования возмущений синхронная система отсчета, в которой После получения решения для возмущений в этой системе отсчета (которая также определяется еще не однозначно!) можно проанализировать его, варьируя системы координат, и выяснить, какая часть возмущения является физической, т. е. описывает изменение распределения плотности в сопутствующей системе, изменение характера деформации среды, появление в ней сил ускорения и абсолютного вращения (математический аппарат для описания этих величин см. в ТТ и ЭЗ). Анализ позволяет отбросить «нефизические» моды.

Мы будем следовать методу Лифшица. Прежде чем переходить к выводу формул, сделаем еще следующее замечание. В работе Лифшица (1946) состояние вещества описывалось гидродинамическим тензором Однако свойства вещества определяются не только механическими величинами — плотностью и давлением. Существуют еще такие величины, как, например, состав; при высокой температуре и плотности, когда все процессы достигают термодинамического равновесия, состав характеризуется заданием сохраняющихся величин — «зарядов»: барионного заряда, лептонных зарядов — и плотности энтропии. Кроме того, с учетом вязкости и слабовзаимодействующих «свободных» частиц «гидродинамический» тензор не является наиболее общим! Тем не менее в рамках линейной теории есть основания думать, что результаты Лифшица о росте возмущений не изменятся качественно, да и количественные изменения, вероятно, не превысят 30%.

В нелинейном приближении можно ожидать важных изменений. Например, при наличии частиц с большой длиной пробега, в принципе, возможно нарушение теоремы Гельмгольца и появление вихревых составляющих скорости в первоначально безвихревой жидкости. Таким образом, в связи с развитием теории горячей Вселенной возникли новые проблемы и в теории гравитационной неустойчивости в ОТО. Однако значение классических результатов при не уменьшилось. С их изложения мы начнем.

Мы будем рассматривать возмущения в областях пространства, которые могут быть велики по сравнению с но малы по сравнению

с радиусом кривизны пространства а в рассматриваемый период. На ранних стадиях эволюции, как мы знаем (см. гл. 2), всегда Принятые условия эквивалентны тому, что мы будем рассматривать возмущения в плоском мире с критической плотностью вещества. Полученные результаты достаточны для нашей ближайшей цели — анализа возможных путей развития галактик. Общий случай (когда длина волны возмущения не мала по сравнению с а) рассмотрен все в той же замечательной работе Лифшица (1946).

В плоском мире, возмущения «раскладываются» по плоским волнам подобно возмущениям в ньютоновской теории. Итак, в случае однородной и изотропной модели Вселенной (модель Фридмана) с плоским сопутствующим пространством запишем:

Здесь последнее равенство получено заменой координаты времени Невозмущенное решение получено нами выше, в § 1 гл. 2. Мы будем работать в метрике с координатным временем

В невозмущенном решении вещество покоится, (невозмущенная система отсчета является и синхронной и сопутствующей). Наиболее общие малые возмущения метрики задаются добавлением но с помощью преобразования координат всегда можно вернуться к синхронной метрике, т. е. к метрике, не содержащей перекрестных членов вида Возмущения остаются лишь в пространственной части метрики:

В формулах (11.1.2) возмущенная метрика задана в синхронной системе отсчета, но эта система отсчета, вообще говоря, с учетом уже не является сопутствующей. Все расчеты мы проводим в линейном приближении, величины первого порядка малости, Кроме того, возникают пространственные компоненты скорости и возмущения плотности. Отклонения от единицы и нарушение равенств и -возможны лишь во втором порядке, поскольку они пропорциональны произведению Используя невозмущенную метрику для поднятия и опускания индексов, получим (это есть определение величин со смешанными индексами)

Смешанные компоненты (включая безразмерны, они определяют величину возмущений метрики в том смысле, что если

то мало возмущение метрики (этого нельзя сказать о размерных

Условия синхронности не определяют системы координат полностью, так как существуют преобразования координат, оставляющие систему координат синхронной. Этот произвол дает возможность появления указанных выше нефизических добавок в Подставляя из (11.1.2) и в уравнения Эйнштейна, мы получаем систему уравнений для возмущений, которая может быть записана в синхронной системе в следующем виде [Лифшиц и Халатников (1963а, б)]:

Точка обозначает Индексы после запятой означают простое дифференцирование по соответствующей координате. Здесь и далее в этом разделе — компоненты физической (не координатной!) скорости. В данном приближении этих уравнений достаточно для определения эволюции возмущений, разложенных по плоским волнам в трехмерном пространстве с евклидовой метрикой. При этом (11.1.4) получается из уравнения для для (11.1.6) — для для