2.13. z-преобразование

Одним из наиболее полезных методов представления последовательностей и работы с ними является z-преобразование. Для последовательности , заданной при всех , оно определяется следующим образом:

                        (2.67)

где  — комплексная переменная. Ясно, что комплексная функция (2.67) определена лишь для тех значений , при которых степенной ряд сходится. Детальное обсуждение его сходимости выходит за рамки данной книги (его можно найти в соответствующих учебниках), поэтому ниже просто перечислены общие результаты, необходимые для понимания излагаемых в книге вопросов.

1. Последовательности конечной длины

Если  отлична от нуля только в интервале  , где  и  конечны, то  сходится в z-плоскости везде, за исключением, быть может, точек  или . ЛПП-систему, импульсная характеристика которой является последовательностью конечной длины, называют системой с конечной импульсной характеристикой (KИX) или, что то же самое, КИХ-фильтром. В гл. 3 будет показано, что на последовательностях конечной длины основан важный класс методов проектирования цифровых фильтров.

Типичная импульсная характеристика  конечной длины изображена на фиг. 2.15. Легко показать, что если все ее элементы конечны, то ЛПП-система с такой импульсной характеристикой всегда устойчива, так как проверка на устойчивость [см. формулу (2.12)] сводится к суммированию конечного числа ограниченных слагаемых. Кроме того, такую систему всегда можно сделать физически реализуемой, введя необходимую задержку импульсной характеристики (например, на — отсчетов, если ).

Фиг. 2.15. Последовательность конечной длины.

В отличие от определения, данного выше, системой (фильтром) с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ) называют систему (фильтр), длина импульсной характеристики которой не ограничена слева (т. е. ) или справа (т. е. ), или с обеих сторон. Как будет показано в гл. 4, последовательности бесконечной длины составляют основу другого большого класса методов проектирования цифровых фильтров.

2. Физически реализуемые последовательности

Если  отличается от нуля только при , то  сходится везде вне круга радиуса . Величина  зависит от положения особых точек , называемых полюсами системы. Как будет показано, при  соответствующая система является устойчивой. Физически реализуемые последовательности весьма важны, так как на их основе строится большинство реальных систем.

3. Нереализуемые последовательности

Если  имеет ненулевые значения в области , то ряд  сходится во всех точках, лежащих в круге радиуса , причем  определяется положением особых точек . В практических задачах нереализуемые последовательности обычно не встречаются, но при рассмотрении некоторых теоретических вопросов они могут представлять интерес.

Получим теперь z-преобразования некоторых полезных последовательностей.

Пример 1. Найти z-преобразование единичного импульса.

Решение. Поскольку  при любых , за исключением , где , то

.

  сходится на всей z-плоскости, так как единичный импульс является последовательностью конечной длины.

Пример 2. Найти z-преобразование единичного скачка.

Решение. Поскольку  везде, кроме , где , то

причем  сходится при , так как  имеет единственную особую точку .

Пример 3. Найти z-преобразование комплексной экспоненты

,;,

Решение. Вычисляя z-преобразование, получим

причем  сходится при , так как единственной особой точкой  является .

Пример 4. Найти z-преобразование простой экспоненциальной последовательности

, ; , .

Решение. Подставив  в (2.67), получим

  сходится при , так как имеет только одну особую точку .