2.26. Дискретное преобразование Гильберта
Выше
рассматривались различные способы представления последовательностей, в
частности z-преобразование,
преобразование Фурье, ряды Фурье. В данном разделе будет показано, что z-преобразование
импульсной характеристики линейной и устойчивой физически реализуемой системы
в любой точке, лежащей вне единичной окружности, может быть выражено через
значения действительной или мнимой части преобразования Фурье той же импульсной
характеристики. Иначе говоря, действительную и мнимую части преобразования
Фурье действительной последовательности можно выразить друг через друга.
Рассмотрим физически реализуемую последовательность 
[т. е. 
при 
] и ее z-преобразование 
. Предположим, что
функция —
аналитическая вне единичной окружности, т. е. все полюсы лежат внутри этой окружности.
Пусть 
и 
— действительная и мнимая части преобразования Фурье
последовательности , т. е.
(2.170)
Введем
, четную
часть ,
как
(2.171)
Тогда можно записать в
виде
, (2.172)
где
(2.173)
Используя
формулу (2.172), найдем значения z-преобразования в точках 
, лежащих вне
единичной окружности (
, 
) Оно равно
(2.174)
Правая часть
равенства (2.174) представляет собой преобразование Фурье последовательности
(2.175)
Поскольку
последовательность 
равна произведению двух
последовательностей, ее преобразование Фурье можно найти с помощью теоремы о
комплексной свертке [см. (2.81)] в виде свертки преобразований Фурье отдельных
сомножителей, т. е.
(2.176)
Здесь
z-преобразования и 
равны
соответственно 
и
, а контур
интегрирования 
совпадает
с единичной окружностью.
Равенство
(2.176) связывает значения функции 
в точках, лежащих вне единичной
окружности, со значениями ее действительной части на единичной
окружности. Если имеет
вид рациональной дроби, то контурный интеграл (2.176) можно легко вычислить с
помощью вычетов.
Аналогично можно
получить соотношение, связывающее 
с . Представим в виде
(2.177)
где
—
нечетная составляющая 
, определяемая как
(2.178)
В этом случае
выражение для имеет
вид
(2.179)
причем
z-преобразование равно 
, а контуром
интегрирования по-прежнему является единичная окружность.
Чтобы найти
соотношение, связывающее и , рассмотрим продельные значения правых
частей (2.176) и (2.179), когда 
. Так как при этом полюс
подынтегральной функции приближается к контуру интегрирования, то вычисление
интегралов следует производить аккуратно. Если эти интегралы приравнять главным значениям интеграла типа Коши, т.
е.
(2.180)
(где 
— главное значение интеграла типа Коши),то можно найти
пределы интегралов (2.176) и (2.179) при . Однако вместо того, чтобы непосредственно вычислять эти интегралы,
введем новую переменную интегрирования 
(так как интегрирование производится по единичной
окружности) и представим следующим образом:
(2.181)
Перепишем равенство (2.176) в виде
(2.182)
откуда, приравняв мнимые части, получим
(2.183)
Преобразуя равенство (2.179) аналогичным образом, найдем
(2.184)
Переходя в полученных выражениях к пределу при и используя для вычисления
интегралов формулу (2.180), получим искомые соотношения
(2.185)
и
(2.186)
Эти соотношения называют парой дискретных преобразований Гильберта. Они
позволяют определить мнимую часть частотной характеристики физически реализуемой
системы по ее действительной части и, наоборот, действительную часть частотной
характеристики по ее мнимой части.
Формулы
дискретного преобразования Гильберта можно также получить, сопоставляя логарифм
модуля частотной характеристики и фазовую характеристику физически реализуемой
минимально-фазовой системы. (Все нули и полюсы передаточной функции
такой системы лежат внутри единичной окружности.) Вообще говоря, полученные
соотношения применяются довольно редко, так как ограничения, накладываемые на
размещение нулей передаточной функции, являются слишком строгими. Во многих
реальных системах нули располагаются вне или на единичной окружности.
