Введение

Теория обнаружения является известным, хорошо разработанным вопросом статистической радиотехники, неоднократно излагавшимся в монографической и учебной литературе. Однако исследования по теории обнаружения продолжаются, о чем свидетельствуют регулярно появляющиеся журнальные статьи, посвященные этой теме. Естественно, рассматриваются только специальные вопросы теории обнаружения, сложные ситуации, свободные от ограничений предыдущих исследований, более близкие к реальности. Можно отметить следующие направления продолжающихся работ:

решение задачи обнаружения в условиях параметрической и непараметрической априорной неопределенности;

дальнейшее применение последовательного анализа к задачам обнаружения, его необходимые обобщения (например, на задачи с априорной неопределенностью), развитие уточненных методов расчета рабочих характеристик последовательных процедур;

решение задач обнаружения для негауссовских сигналов и помех; решение задач статистического синтеза и исследования единого алгоритма обнаружения — измерения и алгоритма управления режимами радиолокационного наблюдения.

В настоящей монографии систематизируются и излагаются результаты исследований по ряду из вышеперечисленных направлений, проводившихся авторами в течение примерно последних десяти лет. Монография не предназначена для первоначального ознакомления с теорией обнаружения; предполагается, что читатель знаком с основами этой теории и ее классическими результатами.

Наиболее полно отправной материал по задачам с априорной неопределенностью содержится в третьей книге известной трехтомной монографии Б. Р. Левина [1], а также в монографии В. Г. Репина и Г. П. Тартаковского [2]. Авторы старались, придерживаться обозначений, использованных в [1]. Задачи с негауссовскими сигналами, последовательный анализ, а также вопросы синтеза единого алгоритма обнаружения-измерения содержатся в монографии Ю. Г. Сосулина [3].

Первые три главы настоящей монографии посвящены различным подходам к задачам обнаружения сигналов в условиях параметрической априорной неопределенности. Эти задачи характеризуются тем, что функциональный вид распределения наблюдаемого процесса известен, а недостаток априорных сведений о помехах и сигналах выражается в незнании параметров этого распределения. Задача обнаружения сигналов при этом формулируется как задача проверки сложных статистических

гипотез относительно распределения наблюдаемой выборки. Гипотеза о наличии сигнала заключается в том, что плотность распределения вероятностей выборки имеет вид где — вектор неизвестных параметров сигнала и помехи; гипотеза об отсутствии сигнала заключается в том, что плотность распределения вероятностей выборки имеет вид разумеется, лишь от помеховой части вектора неизвестных параметров).

В первой главе задача обнаружения сигналов в условиях параметрической априорной неопределенности решается классическим байесовским методом. Этот метод основан на том, что неизвестные параметры сигнала предполагаются случайными с априорной плотностью вероятности . Знание априорной плотности вероятности позволяет перейти к безусловной плотности распределения вероятности выборки

т. е. можно исключить неизвестные параметры усреднением и гипотезу сделать простой. Ограничения этого метода хорошо известны: концепция случайности неизвестных параметров далеко не всегда может быть обоснована; следовательно, не всегда существует или может быть обоснованно предложена априорная плотность . Однако, даже если априорная плотность задана и байесовский метод может быть применен, возникают математические трудности, связанные с усреднением по априорной плотности

В первой главе эти трудности удается эффективно преодолеть и получить законченные результаты для асимптотического случая большого отношения сигнал-шум. При этом функция правдоподобия имеет ярко выраженный пик в окрестности истинного значения параметра О, так что интеграл (0.1) вычисляется и имеет место приближенное равенство где — оценка максимального правдоподобия параметра Устанавливается связь между байесовским методом и методом максимального правдоподобия и удается получить ряд законченных результатов относительно структуры оптимального обнаружителя, рассчитать вероятности ошибок и характеристик обнаружения.

Большое место в первой главе уделяется изучению сходимости байесовского обнаружителя к обнаружителю максимального правдоподобия для различных типов неизвестных параметров (энергетических и неэнергетических) и различных видов сигналов (непрерывных и разрывных), а также моделированию процесса обнаружения на ЭВМ. В результате моделирования установлено удовлетворительное согласие асимптотических формул с экспериментальными зависимостями уже при отношении сигнал-шум, превышающем несколько единиц.

Вторая и третья главы посвящены решению задач обнаружения в условиях параметрической априорной неопределенности при отказе от использования априорного распределения неизвестных параметров. Различные показатели качества процесса обнаружения должны рассматриваться в этом случае по отдельности, и задачи их улучшения

оказываются противоречивыми. Для разрешения этих противоречий приходится вводить различного вида ограничения, откуда возникает большое число подходов к задачам оптимизации.

Формулировка задачи оптимизации обнаружения в условиях параметрической априорной неопределенности на качественном уровне весьма проста. Пусть искомая оптимальная решающая функция (критерий). Нерандомизированная решающая функция, как известно, имеет вид

Это означает, что гипотеза принимается при попадании выборки в множество и отвергается в противном случае. Рандомизированная решающая функция принимает любые значения и при ее значении гипотеза Ну принимается с вероятностью . Тогда вероятность ложной тревоги (значимость критерия)

а вероятность правильного обнаружения (мощность критерия)

Задача оптимизации обнаружения заключается в таком выборе чтобы значение было возможно меньше, возможно больше. Ясно, что эти два условия противоречивы. Кроме того, поскольку и — функции, задача минимизации (максимизации) их значений водной точке может находиться в противоречии с задачей минимизации (максимизации) их значений в другой. Поэтому необходимы дополнительные условия и ограничения.

Если зафиксировать каким-либо образом вероятность ложной тревоги то можно ставить задачу о существовании и нахождении такого критерия, при котором вероятность правильного обнаружения максимальна одновременно для всех значений параметра . Такой критерий называется равномерно наиболее мощным (РНМ критерием) при заданном условии на . Поиск РНМ критериев — одна из основных задач оптимизации обнаружения в условиях параметрической априорной неопределенности.

Вероятность ложной тревоги наиболее просто задать фиксированной, не зависящей от Если такой критерий существует, то он называется подобным. Условие подобия часто позволяет настолько сузить класс критериев, что в нем обеспечивается существование РНМ критерия и становится ясным путь его нахождения. Однако, чтобы выделить единственное физическое решение, часто приходится налагать на искомый критерий весьма естественное условие несмещенности

Вторая глава посвящена отысканию несмещенных и инвариантных правил обнаружения сигналов в условиях параметрической априорной неопределенности. На основе принципов подобия и несмещенности в этой главе решен ряд сложных задач оптимизации обнаружения сигналов: на фоне гауссовского шума неизвестной мощности, на фоне гауссовского шума и квазидетерминированной помехи с неизвестными параметрами и др. Ряд задач оптимизации обнаружения решен с использованием принципа инвариантности. Этот принцип нужно отнести к весьма эффективным методам решения задач оптимизации. Он применим при наличии определенной симметрии в исходных данных задачи обнаружения, из которой следует инвариантность оптимального решающего правила относительно некоторой группы преобразований пространства выборок. Использование этой инвариантности (в сочетании с условиями, которые были перечислены выше) во многих случаях позволяет найти явный вид оптимального решающего правила.

В третьей главе приводится минимаксная постановка и решение задач оптимизации обнаружения в условиях параметрической априорной неопределенности при конечной дискретной выборке. Возможность минимаксной постановки этих задач очевидна. Если вернуться к выражениям (0.2) и (0.3), то задача, качественно заключающаяся в уменьшении и увеличении , может быть математически точно сформулирована, например, в виде

где — область неизвестных параметров помехи; контролируемая при оптимизации область неизвестных параметров смеси сигнала и помехи, т. е. фиксируется наибольший (по множеству параметров помехи ) уровень ложных тревог и при этом условии выбором решающего правила максимизируется минимальное (по множеству параметров смеси сигнала с помехой ) значение вероятности правильного обнаружения.

Рассматриваются и другие варианты минимаксного критерия, в том числе относительные минимаксные критерии, предполагающие более равномерное приближение к потенциальным характеристикам обнаружения в терминах вероятности правильного обнаружения или порогового отношения сигнал-шум.

Достоинство минимаксного подхода заключается в том, что оптимальные минимаксные правила всегда существуют. Исследованы условия, при которых РНМ и минимаксные правила среди несмещенных, подобных и инвариантных правил совпадают. Когда же РНМ правила не существуют, минимаксные правила служат их обобщением. В этой главе приводятся также методы синтеза минимаксных правил как для двоичного, так и для многоальтернативного обнаружения. В качестве

примера применения этих методов рассматривается задача обнаружения случайного сигнала на фоне коррелированных гауссовских помех с неизвестными интенсивностями.

Четвертая глава посвящена дальнейшему развитию методов последовательного анализа и их применению в задачах обнаружения сигналов. Последовательные методы, как известно, используют выборки не фиксированного заранее объема; эти методы предполагают управление ходом эксперимента на основе получаемой информации. Такая постановка задачи наиболее адекватна задаче обнаружения в сложной и нестационарной помеховой обстановке.,

Известно, что весьма трудной, до конца не решенной, является задача расчета характеристик последовательной процедуры: нахождение порогов при заданных вероятностях ошибки (или, наоборот, вероятностей ошибок при заданных порогах), расчет средней длительности процесса наблюдения. Имеющиеся в литературе результаты относятся в основном к квазинепрерывному случаю, когда приращение решающей статистики за одно наблюдение мало (малое отношение сигнал-шум). Излагаются новые результаты по расчету характеристик последовательной процедуры при большом отношении сигнал-шум, полученные в основном численным расчетом, методом статистических испытаний (методом Монте-Карло), а в некоторых случаях и аналитически.

Применение последовательного анализа оказывается весьма полезным при решении задач обнаружения при наличии мешающих параметров. Благодаря регулируемому в ходе наблюдения объему выборки, в последовательном анализе ослабляются условия существования РНМ инвариантных критериев. Для малого отношения сигнал-шум в одном наблюдении (близкие альтернативы) удается построить эффективные инвариантные или почти инвариантные последовательные критерии. В качестве таких случаев рассматриваются задачи обнаружения сигнала на фоне помехи неизвестной мощности, а также задача обнаружения сигнала с фазой, изменяющейся от наблюдения к наблюдению по закону с неизвестными параметрами (сигнал с неизвестным доплеровским сдвигом).

Часть главы посвящена вопросам применения последовательных решающих правил в многоканальных системах обнаружения. В качестве первого приближения анализируется подход, основанный на независимом принятии решения в каждом канале. Показано, что этому подходу присущи потери, связанные с тем, что время, затрачиваемое на завершение анализа в каналах, где процедура затянулась, не используется для уточнения решений, принятых в остальных каналах. Этот недостаток устраняется в алгоритмах с зависимыми решениями, когда решение о прекращении наблюдения в каждом канале выносится с учетом совокупности значений статистик всех каналов. Рассматривается ряд алгоритмов такого типа, в том числе алгоритмов, построенных по принципу «комбинированной» решающей статистики, в которых решения в пользу принимаются на основе различных статистик выборочных значений. Показано, что применение таких алгоритмов весьма эффективно в многоканальной системе с априорно неизвестным числом сигналов.

В пятой главе рассматриваются задачи обнаружения сигналов в негауссовских помехах. Внешние помехи радиолокационным, связным, радионавигационным системам в большинстве случаев являются негауссовскими. Существенно негауссовскими, в частности, являются преднамеренные активные помехи (например, хаотические импульсные помехи), помехи от соседних радиосистем, реверберационные помехи и отражения от крупных мешающих объектов и т. д. Негауссовские помехи весьма распространены, и задача улучшения качества обнаружителей благодаря более точному учету статистических свойств помех является важной.

Теория обнаружения в негауссовских помехах разработана в основном для двух моделей помех: в виде марковских процессов и в виде процессов, получающихся нелинейным преобразованием гауссовского шума. Основы теории обнаружения в негауссовских помехах заложены в трудах Р. Л. Стратоновича [41, Ю. Г. Сосулина [3], Б. Р. Левина, А. Ф. Кушнира и А. И. Пинского [51] и др. В пятой главе приводятся основные результаты этих исследований, а также оригинальные результаты автора главы. Дается подробное обоснование возможности использования вышеуказанных моделей помех. Основное внимание уделяется рассмотрению оптимальных алгоритмов и потенциальной помехоустойчивости систем обнаружения. Наряду с этим рассматривается возможность защиты от негауссовских помех фильтровых и корреляционных каналов обработки, входящих в приемоизмерительные тракты любых радиотехнических систем.

Шестая и седьмая главы посвящены непараметрическому обнаружению сигналов. Сюда относятся задачи обнаружения, в которых распределение вероятностей смеси сигнала с шумом и распределение шума неизвестны; при этом решение задач нельзя свести к наличию в распределениях неизвестных параметров. В случае параметрической неопределенности задачи обнаружения могли решаться исключением неизвестных параметров в результате усреднения по априорному распределению, поиском РНМ критериев при различных ограничениях, с помощью минимаксных методов. Получались алгоритмы, слабо чувствительные к статистическим характеристикам сигналов и шумов. Непараметрические методы обнаружения вообще не основываются на знании функционального вида распределений. Обычный путь преодоления непараметрической неопределенности заключается в поиске решающих статистик, не зависящих от распределения шума в достаточно широких пределах его изменения. При этом обеспечивается стабилизация на заданном уровне одной из вероятностей ошибок при переменной помеховой обстановке.

Синтез оптимальных непараметрических обнаружителей наталкивается на практически непреодолимые математические трудности. Решить эту задачу удается лишь в асимптотическом случае, когда число испытаний стремится к бесконечности. Теория асимптотически оптимальных алгоритмов обнаружения излагается в монографии Б. Р. Левина [1] и в седьмой главе настоящей монографии. Для выборок ограниченного объема непараметрические критерии приходится предлагать из эвристических соображений, а изучение и сравнение их производить

прямым расчетом и анализом рабочих характеристик. Таким образом, были предложены знаковый и ранговый критерии, основанные соответственно на испытании знаковой статистики выборки (последовательности знаков элементов) и ранговой статистики (последовательности рангов выборки, т. е. последовательности номеров элементов, присвоенных в порядке их возрастания). Очевидно, что распределение вероятностей знаковой статистики не зависит от вида шума, если она независима и симметрично распределена (относительно нуля). Аналогично распределение вероятностей ранговой статистики не зависит от вида шума, если она независима и стационарна [1].

В шестой главе излагаются теория и принципы построения непараметрических обнаружителей для конечного числа наблюдений и альтернативы общего вида , где функции распределения выборки соответственно для гипотезы (один шум) и гипотезы (сигнал с шумом). Такая альтернатива характерна для задач обнаружения радиосигналов. Изучаются в основном знаковые и ранговые алгоритмы. Дается методика расчета характеристик обнаружения для широкого класса распределения вероятностей шумов, в том числе негауссовских, производится сравнение с характеристиками классического обнаружителя.

Новым является вопрос сочетания ранговой обработки с последовательным анализом. Синтезируется оптимальный ранговый последовательный обнаружитель, а также изучаются последовательные процедуры, основанные на использовании альтернатив Лемана, и бинарная ранговая процедура. Приводятся методики и результаты расчета характеристик последовательных ранговых обнаружителей. Предложена и изучена усеченная ранговая процедура многоканального обнаружения. -

Исследуются вопросы адаптации последовательных непараметрических процедур. Применение непараметрической статистики, инвариантной по отношению к виду и параметрам распределения помехи, позволяет перейти от сложной гипотезы (отсутствие сигнала) к простой и, следовательно, значительно упростить задачу адаптации последовательного непараметрического обнаружителя. Описываются адаптивные ранговые многоканальные обнаружители, адаптация которых сводится к измерению одного или двух параметров независимо от вида шума.

Рассматривается также непараметрическое обнаружение в случае зависимых выборок. Использование марковской аппроксимации для независимых наблюдений позволило синтезировать знаковый и ранговый обнаружители, инвариантные по уровню ложных тревог для конечного объема выборки.

В седьмой главе приводятся некоторые новые результаты синтеза структур и расчета характеристик асимптотически оптимальных непараметрических обнаружителей. Синтезирован ранговый обнаружитель, асимптотически оптимальный для сигналов, содержащих постоянную составляющую. Анализ устойчивости алгоритмов проводится для условий, когда сигналы и помехи отличны от ожидаемых, на которые алгоритм настроен. Введено понятие гарантированных характеристик

обнаружения, определяемых нижней границей нефиксированной ошибки при произвольных сигналах и шумах из заданного класса. Указаны способы вычисления гарантированных характеристик. Описаны структуры и проанализированы характеристики асимптотически оптимальных ранговых обнаружителей на перемешанных статистиках с линейным преобразованием входных данных (ранговые обнаружители с предварительной линейной фильтрацией входного сигнала). Изучаются также двухвыборочные асимптотически оптимальные обнаружители детерминированных и квазидетерминированных сигналов.

В восьмой главе излагается теория статистического синтеза единого радиолокационного алгоритма обнаружения-измерения. Ясно, что механическое разделение радиолокационного процесса на «обнаружение» и «измерение координат» объекта есть идеализация, которая не удовлетворяла теоретиков. При таком разделении остается открытым ряд принципиальных вопросов. Сколько времени нужно отвести на обнаружение? Что делать, если объект не обнаружен — остановить радиолокационные наблюдения иЛи повторить цикл обнаружения? В последнем случае приходим к последовательному алгоритму обнаружения, длительность которого заранее не фиксирована и который продолжается до достижения заданной надежности принимаемого решения.

Таким образом, последовательный анализ наиболее адекватен реальной радиолокационной ситуации. Однако нужно еще учесть, что реальное радиолокационное обнаружение заканчивается указанием местоположения обнаруженного объекта, т. е. является «обнаружением в пространстве», и что объект во время обнаружения может перемещаться. Для решения этих задач, а также для синтеза радиолокационного алгоритма, осуществляющего непрерывный переход от обнаружения к измерению координат объекта, необходимо расширить аппарат последовательного анализа. Задача совместного обнаружения и измерения параметров сигнала рассматривалась Д. Миддлтоном и Р. Эспозито [6], Б. Р. Левиным [1], Ю. Г. Сосулиным [3], И. А. Большаковым 17), П. А. Бакутом и др. [8].

В настоящей монографии этот вопрос изложен согласно [8]. Задача обнаружения-измерения ставится как задача фильтрации процесса, характеризующего радиолокационную обстановку, которая учитывает как факт наличия или отсутствия объекта, так и его координаты и закон перемещения. Единый алгоритм обнаружения-измерения сводится к рекуррентному формированию апостериорной вероятности наличия объекта и плотности распределения вероятностей ее координат. Используя аппроксимацию апостериорной плотности и функции правдоподобия суммой гауссовских сплайнов, удается рекуррентное формирование апостериорной плотности свести к рекуррентному формированию векторных и матричных характеристик гауссовских сплайнов, что существенно упрощает алгоритм обнаружения—измерения. При этом апостериорная вероятность наличия объекта формируется до тех пор, пока она не превысит некоторый порог, достаточно близкий к единице. Этот цикл работы алгоритма можно назвать обнаружением. После превышения порога апостериорная вероятность наличия объекта принимается равной единице и дальнейшим преобразованиям

подвергается только плотность распределения вероятностей координат объекта. Этот цикл работы алгоритма можно назвать оцениванием координат. Таким образом, оба основных радиолокационных режима вытекают из единого алгоритма.

Работа над книгой распределялась следующим образом: гл. 1 написана А. П. Трифоновым, гл. 2 — В. А. Богдановичем, гл. 3 — В. А. Корадо, гл. 4— И. Б. Власовым и Б. А. Розановым, гл. 5 — В. Г. Валеевым, гл. 6 — П. С. Акимовым, гл. 7 — А. М. Бриккером, гл. 8 и введение — П. А. Бакутом. Авторы выражают благодарность рецензентам книги профессорам Б. Р. Левину и Ю. Г. Сосулину, сделавшим ряд ценных замечаний и рекомендаций, существенно улучшивших содержание книги, а также канд. физ.-мат. наук Ю. В. Заворуеву, оказавшему значительную помощь в оформлении рукописи.