1.2. Характеристики обнаружения сигнала с неизвестными неэнергетическими параметрами

1.2.1. Несколько неизвестных параметров

Для весьма широкого класса сигналов и помех асимптотически оптимальным является обнаружение с помощью приемника максимального правдоподобия. Найдем его характеристики, полагая, что полезный сигнал содержит неэнергетических параметров в. Приемник максимального правдоподобия согласно (1.31) вырабатывает функцию и принимает решение, сравнивая ее абсолютный максимум с порогом . При наличии сигнала на входе приемника

а при отсутствии сигнала

Здесь — соответственно отношение сигнал-шум, шумовая и сигнальная функции (1.12)-(1.14).

Поскольку параметры предполагаются неэнергетическими, не зависит от , а шумовая функция является реализацией однородного гауссовского случайного поля. Достаточные условия однородности поля при приведены в [54]. При аналитически сформулировать достаточные условия однородности затруднительно, хотя имеется довольно широкий класс сигналов и помех, когда однородно, например в случае приема сигналов с неизвестными временным положением, частотой и начальной фазой на фоне белого шума.

Вероятности ошибок рода (ложной тревоги) а и рода (пропуска сигнала) в приемнике максимального правдоподобия, в котором сравнивается абсолютный максимум с порогом с, можно записать как

Здесь значения абсолютного максимума соответственно в отсутствие и при наличии сигнала в принятой реализации . Так как , где значение абсолютного максимума реализации однородного гауссовского случайного поля с нулевым средним значением и функцией корреляции то вероятность ложной тревоги

Чтобы вычислить а по этой формуле, необходимо определить функцию распределения абсолютного максимума реализации случайного поля , т. е. . Если сигнальная функция (функция корреляции поля) при то можно считать, что с увеличением Я распределение числа выбросов за уровень реализации в области сходится к закону Пуассона [12, 25]. Следовательно, для больших, но конечных можно записать

Здесь v — -мерный евклидов объем области , а — среднее число выбросов реализации за уровень в единичном объеме -мерного евклидова пространства неизвестных параметров сигнала. В общем случае функция в правой части (1.58) не является неубывающей функцией , поэтому вместо (1.58) будем использовать аппроксимацию

где наименьшее значение , для которого при любых выполняется неравенство .

При записать выражение в явном виде затруднительно. Поэтому воспользуемся приближенной формулой, справедливой при больших ,

Эта формула следует из асимптотического выражения для , приведенного в определитель матрицы

Согласно (1.57), (1.59) и (1.60) выражение для вероятности ложной тревоги принимает вид

Здесь

нормированный порог. В дальнейшем величину (1.63), которая характеризует число различимых значений неизвестных параметров в области , будем называть приведенным объемом априорной области . Точность полученной приближенной формулы для вероятности ложной тревоги улучшается с увеличением приведенного объема и нормированного порога и. Подобное выражение для вероятности ложной тревоги получено также в [53, 57] применительно к частному случаю обнаружения радиосигнала со случайной начальной фазой и неизвестным временным положением .

Определим теперь вероятность пропуска сигнала Обозначим «длительность» сигнальной функции по параметру , т. е. будем полагать, что

Можно также величину ; определить как интервал корреляции шумовой функции по параметру Пусть тогда для неэнергетических параметров , а интервал корреляции [54]

Оба определения величины приводятся приблизительно к одинаковым результатам. Разобьем область определения неизвестных параметров на две подобласти подобласти отнесем все значения удовлетворяющие неравенствам , а к подобласти значения для которых . Поскольку интервал корреляции поля по параметру приближенно равен «длительности» выходного сигнала по тому же параметру, то для

Пусть абсолютный максимум при и этот максимум расположен в точке абсолютный максимум при считаем, что он расположен в некоторой точке . Если область определения неизвестных параметров велика по сравнению с подобластью то случайные величины можно считать приближенно независимыми. При этом вероятность пропуска

Эта формула будет точной, когда случайные величины и статистически независимы. Однако если для всех выполняются неравенства то и в общем случае зависимы. Учитывая, что по определению получаем, что могут быть зависимыми, если только для всех выполняются неравенства Если это неравенство не выполняется хотя бы для одного t, то случайные величины статистически независимы, так как в этом случае . В силу однородности случайного поля положение абсолютного

максимума распределено равновероятно в подобласти . Значит, вероятность того, что случайные величины и статистически зависимы, удовлетворяет неравенству

где — -мерный евклидов объем подобласти Следовательно, при случайные величины независимы с вероятностью, стремящейся к 1. Соответственно при что то же самое, для большинства сигналов при справедлива приближенная формула (1.64).

Приближенное значение вероятности получаем, используя соотношения (1.59), (1.60):

Здесь — приведенный объем подобласти . Когда область определения неизвестных параметров задана неравенствами

то

Поэтому, если хотя бы для одного i выполняется неравенство

справедливы соотношения

а из (1.65) следует, что . Заметим, что для сигнальной функции , имеющей лишь один ярко выраженный максимум, соотношения как правило, выполняются, когда приведенный объем априорной области определения неизвестных параметров

При наличии сигнала и имеем Положим, что используется достаточно хорошо сформированный сигнал, так что сигнальная функция имеет лишь один ярко выраженный максимум. Тогда вероятностью появления более чем одного максимума при можно пренебречь. При больших отношениях сигнал-шум [27, 54]

где — случайные гауссовские величины с нулевым средним значением и корреляционной матрицей алгебраические дополнения определителя

Разложим функцию в ряд Тейлора в окрестности точки Подставляя в это разложение и учитывая (1.70), получаем

где - гауссовская случайная величина с параметрами (0; 1) Характеристическая функция случайной величины имеет вид

Этот интеграл легко вычислить, если использовать условие нормировки для многомерного гауссовского распределения: . Вычисляя обратное преобразование Фурье, получаем плотность вероятности случайной величины К

где — гамма-функция. Слагаемые и в (1.71) статистически независимы, так как , а гауссовские случайные величины некоррелированны:

Пренебрегая в (1.71) членами порядка малости и менее, находим плотность вероятности случайной величины .

или

— функция параболического цилиндра [10]. Следовательно, вероятность (1.64) приближенно равна

С помощью (1.64), (1.66) и (1.72) находим приближенное выражение для вероятности пропуска сигнала

Точность этой формулы растет с увеличением приведенного объема , отношения сигнал-шум и нормированного порога . Заметим, что в рассматриваемом приближении вероятность пропуска сигнала не зависит от истинного значения неизвестного неэнергетического параметра .

Полученные приближенные выражения для вероятности ложной тревоги (1.62) и пропуска сигнала (1.73) довольно громоздки. Поэтому представляет интерес получение упрощенных, хотя и менее точных вариантов этих формул. Полагая имеем

где

- интеграл вероятности.

Оценим проигрыш в эффективности обнаружения из-за незнания неэнергетических параметров сигнала. При обнаружении сигнала, все параметры которого известны, вероятности ошибок определяются формулами [42]:

Из сравнения (1.75) и (1.78) следует, что предельное значение вероятности пропуска сигнала с несколькими неизвестными неэнергетическими параметрами совпадает с вероятностью пропуска известного сигнала. Значит, предельная вероятность ошибки пропуска инвариантна по отношению к неизвестным неэнергетическим параметрам сигнала.

Сравним теперь вероятности ложной тревоги. Учитывая, что (1.74) справедливо при и и используя асимптотическое выражение для при имеем, что при Значит, относительные потери в эффективности обнаружения возрастают с увеличением числа неизвестных параметров приведенного объема S априорной области определения неизвестных параметров сигнала и с уменьшением требуембго уровня ложных тревог, так как при

Все полученные выше приближенные выражения для характеристик обнаружения асимптотически точны при с» или, что то же самое, для большинства

практически используемых сигналов при . Рассмотрим коротко возможности определения вероятностей ошибок 1-го и 2-го рода при обнаружении сигнала, содержащего неизвестных неэнергетических параметров, когда указанное условие не выполняется. Это равносильно предположению, что неравенство (1.68) не выполняется ни для одного значения

Когда отношение невелико, так что значение порядка нескольких единиц, следует положить Соответственно вероятность пропуска сигнала , где определяется из (1.72). Если к тому же велико отношение сигнал/шум то, как и при больших значениях , можно использовать упрощенную формулу (1.75).

Для расчета вероятности ложной тревоги опять используем приближенное выражение (1.58). При малых значение может заметно отличаться от нуля. Поэтому используем несколько иную, чем (1.59), аппроксимацию функции распределения абсолютного максимума реализаций случайного поля . Положим приближенно

где — интеграл вероятности (1.76), а остальные обозначения соответствуют (1.58), (1.59). Подставляя (1.60) в (1.79), а последнее в (1.57), находим

Полагая в этой формуле , т. е. считая, что приходим к (1.77). Действительно, когда объем априорной области определения неизвестных параметров сигнала стремится к нулю, эта область стягивается в точку, что соответствует обнаружению сигнала с известными параметрами.

При больших значениях или т. е. когда априорная неопределенность относительно неизвестных параметров сигнала значительна, (1.80) переходит в более простую формулу (1.62). Заметим также, что (1.80) совпадает с (1.62) при больших значениях аргумента и, так как при имеем

Случай малых объемов априорной области определения неизвестных параметров сигналов обычно не вызывает большого интереса. При этом характеристики обнаружения сигнала с неизвестными параметрами, как правило, близки к характеристикам обнаружения сигнала, все параметры которого известны. Поэтому, если не требуется большая точность, для расчета характеристик обнаружения можно использовать формулы (1.77), (1.78). Эти формулы применительно к обнаружению квазидетерминированного сигнала асимптотически точны, если для всех т. е. при .