4.4.2. Правила обнаружения с независимыми решениями

Многоканальная последовательная процедура с независимыми решениями состоит в том, что в каждом канале в соответствии с вальдовским критерием отношения правдоподобия проверяется простая гипотеза относительно одной из простых альтернатив на которые в этом случае распадается сложная альтернатива . Накопление статистики в каждом канале при этом прекращается немедленно после ее выхода из зоны неопределенности. Процедура в целом считается законченной в тот момент, когда будет принято решение во всех каналах, что обеспечивает обнаружение с заданной вероятностью любого числа сигналов . Интегральная функция распределения длительности многоканальной процедуры с независимыми решениями определяется выражением

а средняя длительность

Входящие в (4.91) и (4.92) функции распределения длительности наблюдения в отдельных каналах могут быть рассчитаны с помощью методов, изложенных в § 4.2. Если каналы статистически однородны, т. е. распределения длительности наблюдения в них одинаковы, то

Очевидно, что длительность многоканальной последовательной процедуры с независимыми решениями совпадает с длительностью наблюдения в том канале, где решение было принято последним, т. е. . Это позволяет при статистически однородных каналах применить для расчета интегральной функции распределения длительности многоканальной процедуры известный результат теории экстремальных статистик [172], согласно которому распределение максимальных значений случайных величин, принадлежащих однородной выборке, с ростом ее объема стремится к двойному экспоненциальному. Таким образом, при справедливости во всех каналах гипотезы возможна аппроксимация

Параметр [мода плотности распределения (4.93)] является (1 — -квантилем длительности одноканальной процедуры:

Параметр характеризующий рассеяние величины определяется соотношением , - производная. Моменты распределения (4.93) выражаются через параметры

Скорость сходимости приближения (4.93) к истинному распределению зависит от вида исходного распределения Для гауссовского, вейбулловского, гамма- и других распределений экспоненциального класса точность приближения (4.93) уже при оказывается достаточной для расчета первых двух моментов длительности многоканальной процедуры.

Рис. 4.15. Статистические характеристики длительности многоканальной последовательной процедуры

Иногда параметры и непосредственно выражаются через параметры исходного распределения . Легко видеть, что для показательного распределения Для большинства распределений уравнение (4.94) решается относительно только численными методами.

Для тех случаев, когда длительность одноканальной процедуры подчиняется распределению Вальда (4.14), на рис. 4.15, а приведены рассчитанные с помощью таблиц [163] для ряда значений зависимости от параметра с нормированного -квантиля а на рис. 4.15, б для тех же значений приведены зависимости от с отношения

. Погрешность аппроксимации степени распределения Вальда двойным экспоненциальным не превышает 15% при и быстро уменьшается с ростом Для когда отлична от нуля только при значениях весьма близких к единице, т. е. при возможна аппроксимация распределения Вальда показательным (см. § 4.2). Для этого случая в [1901 найдены аналитические выражения функции распределения нормированной длительности а также ее математического ожидания и дисперсии.

На рис. 4.15, в и г приведены рассчитанные зависимости параметров от отношения сигнал-шум для случая сильного сигнала с рэлеевскими флуктуациями амплитуды, когда распределение длительности одноканальной процедуры описывается формулой (4.59). Погрешность расчёта с помощью (4.95) и графиков рис. 4.15, в и г зависит от при и максимальная ошибка составляет 15%, при дБ она возрастает до 30%, поскольку точность аппроксимации непрерывным распределением (4.93) при ухудшается. Более точной для распределения , описываемого выражением (4.59), оказывается эмпирическая формула

погрешность которой при для всех не превышает 15% и быстро уменьшается с ростом .

Отметим, что для всех распределений экспоненциального класса параметр а следовательно, и дисперсия с ростом числа каналов стремятся к некоторому установившемуся значению, что связано со свойством предельного распределения (4.93), для которого

Параметр а соответственно и средняя длительность многоканальной процедуры возрастают с ростом по закону, близкому к линейно-логарифмическому: , где некоторый коэффициент.

Как показывают результаты большого числа работ по вопросам обнаружения сигналов, такая закономерность, отражающая рост «платы» за априорную неопределенность параметров сигнала при увеличении числа их возможных значений, является типичной и свойственна всем многоканальным процедурам — как последовательным, так и однопороговым. Например, в многоканальном обнаружителе Неймана—Пирсона вероятность ложной тревоги Для поддержания на выходе такого обнаружителя постоянной вероятности ложной тревоги необходимо с ростом числа каналов повышать пропорционально решающий порог во всех каналах, что в свою очередь требует увеличения объема выборки для сохранения заданной вероятности правильного обнаружения [156].

Зависимость от числа каналов верхнего порога последовательной процедуры с независимыми решениями, обеспечивающей

имеет аналогичный вид: . Однако как следует из рис. 4.16, при увеличении нарастает не только связанная с верхним порогом средняя длительность последовательного обнаружения , но и длительность наблюдения в отсутствие сигналов от верхнего порога практически не зависящая. Существенно, что временные затраты последовательной процедуры растут быстрее, чем для эквивалентной по надежности процедуры Неймана—Пирсона. При некотором , определяемом видом и параметрами распределений , а также заданными вероятностями ошибок и правило с независимыми решениями начинает проигрывать однопороговому, что свидетельствует о неоптимальности данного последовательного алгоритма в задачах различения сложных гипотез.

Рис. 4.16. Зависимость средней длительности различных процедур принятия решения от числа независимых каналов приема: 1 — обнаружитель Неймана — Пирсона; 2 — последовательная процедура с независимыми решениями при 3 — последовательная процедура с независимыми решениями при (математическое моделирование, сигнал с независимыми рэлеевскими флуктуациями огибающей)

Радиолокационное последовательное обнаружение с разрешением по дальности.

Тот факт, что при большом числе однородных каналов последовательная процедура с независимым принятием решения далека от оптимальной, в некоторых работах служил причиной для вывода о ее непригодности для радиолокационного обнаружения с высоким разрешением по дальности . В действительности каналы (элементы разрешения) радиолокационного дальномера неоднородны, поскольку распределение выборки в присутствии сигнала зависит от его мощности, а последняя при фиксированной эффективной рассеивающей площади цели, как известно, является функцией дальности.

Для однопороговых критериев учет зависимости мощности сигнала от дальности не дает ощутимого эффекта. Поэтому обычно во всех каналах полагают где — эффективное значение сигнала, отраженного от расчетной цели, находящейся на максимальной дальности при которой обеспечивается заданная вероятность обнаружения.

При последовательном анализе учет зависимости позволяет сократить число каналов, в которых наиболее вероятна затяжка наблюдения в отсутствие сигналов, что эквивалентно уменьшению общего числа параллельно анализируемых каналов [156]. Действительно, функция распределения длительности последовательной процедуры при гипотезе смещается влево с увеличением расчетного отношения сигнал-шум . Поэтому функция распределения длительности многоканальной последовательной процедуры, учитывающей зависимость

Соответственно

На рис. 4.16 приведена зависимость для случая соответствующего уравнению радиолокации, при

Выигрыш в объеме выборки по сравнению с однопороговой процедурой при составляет раза [192, 193].

Обратим внимание, что этот выигрыш достигается благодаря некоторой трансформации характеристики обнаружения При вероятность обнаружения расчетной цели монотонно возрастает с уменьшением дальности. Для эта вероятность остается примерно постоянной, близкой к расчетному значению на всех дальностях, где слабо сказывается эффект «перескока» решающей статистики за пороги, приводящий к повышению вероятности правильного обнаружения. Влияние этого эффекта нарастает с уменьшением дальности до цели, в результате характеристика обнаружения описанной последовательной процедуры приобретает вид, изображенный на рис. 4.17.

Рис. 4.17. Зависимость вероятности правильного обнаружения от дальности при радиолокационном наблюдении: 1 — обнаружитель Неймана — Пирсона; 2 — последовательный обнаружитель с независимыми решениями при последовательный обнаружитель с независимыми решениями при

Необходимый в некоторых случаях компромисс между требованиями минимальной средней длительности наблюдения и максимальной крутизны зависимости может быть достигнут, если регулированием охватывается лишь часть каналов, расположенных на максимальной дальности [194].