3.1.2. Минимаксные критерии двоичного обнаружения сигнала

В качестве критерия оптимизации двоичного обнаружения в рассматриваемых условиях представляется целесообразным следующий максиминный критерий относительно вероятности правильного обнаружения с ограничением на уровень вероятности ложной тревоги:

где — множество решающих правил удовлетворяющих условиям, эквивалентным условиям (3.1) и (3.2);

или

Здесь называется максиминной вероятностью правильного обнаружения.

Для того чтобы максиминный критерий (3.4) был практически эффективен, необходимо, чтобы альтернативная область находилась на некотором «расстоянии» от области гипотезы и не имела с ней общих точек. В противном случае для любого решающего правила Таким образом, ограничения на так же как и на а, являются существенными дополнениями, без которых приведенный выше максиминный критерий для решения задач обнаружения сигнала в условиях неопределенности лишается практической эффективности.

Следует отметить, что для задач обнаружения сигналов указанное ограничение на обычно соответствует желанию оптимизировать характеристики обнаружения в области их удовлетворительных и хороших значений.

Приведенный критерий хорошо известен в математической статистике [87] и рекомендован для применения к широкому классу задач обнаружения сигналов на фоне помех с неизвестными параметрами [82, 119, 129]. Как видно из предыдущего, максиминное решающее правило по критерию (3.4) обеспечивает максимум гарантированной вероятности правильного обнаружения в области неизвестных параметров при соответствующем ограничении вероятности ложных тревог.

Каждому максиминному критерию типа (3.4) относительно вероятности правильного обнаружения, очевидно, соответствует эквивалентный ему минимаксный критерий относительно вероятности

пропуска сигнала Поэтому оба конкретных варианта этих критериев в дальнейшем могут обобщенно называться минимаксными критериями.

Выбор области должен производиться на основании практических соображений, подсказываемых условиями конкретной задачи, что для многих задач удается сделать довольно естественным образом. При этом должны учитываться требуемое качество обнаружения, сравнительная важность эффективного обнаружения в различных условиях, сохранение симметрии (инвариантности) задачи относительно преобразований координат, облегчающей ее решение и упрощающей сами решающие правила. Наиболее характерным примером такого выбора является ограничение снизу отношения сигнал-шум, выраженного в подходящих характеристиках интенсивности.

Достаточно общим методом выбора является выбор его в виде

где

Здесь - модифицированная огибающая вероятности правильного обнаружения, равная для каждого вероятности правильного обнаружения наиболее мощным решающим правилом Неймана-Пирсона уровня а; — значение совокупности неизвестных параметров помех при данном — множество решающих правил с при данном к.

При таком выборе в значительной степени компенсируется недостаток минимаксного критерия — выделять наиболее неблагоприятные значения неизвестных параметров и не всегда реализовывать возможности повышения эффективности обнаружения в остальных не столь неблагоприятных условиях.

Действительно, может рассматриваться как потенциальный предел для — минимаксного решающего правила, который, как правило, асимптотически достижим при возрастающем объеме входной выборки. При этом возможности эффективного обнаружения для всех , принадлежащих границе области определяемой уравнением по крайней мере, асимптотически выравниваются и практически реализуются. Указанный положительный эффект выбора в виде (3.7) в значительной степени сохраняется и при конечных, в том числе малых, выборках. А в тех случаях, когда минимаксное решающее правило с ограничениями (3.1) или (3.2) оказывается подобным, оно является и минимаксным подобным решающим правилом, т. е. удовлетворяющим ограничению (3.1).

Таким образом, разумный выбор уже сам по себе позволяет существенно ослабить обычно указываемый недостаток минимаксного подхода — его чрезмерную «осторожность» [2, 31, 109].

Другие варианты минимаксных критериев, в принципе позволяющие еще более ослабить эту особенность минимаксных правил, рассматриваются ниже.

Следует отметить, что в тех задачах обнаружения, для которых существует равномерно наиболее мощное решающее правило, минимаксное решающее правило автоматически оказывается равномерно наиболее мощным.

Идея применения огибающей функции мощности теста для выбора в случае, когда в качестве используется огибающая на множестве всех тестов уровня а проверки сложной гипотезы изложена в [87]. Следует отметить, что, хотя может лучше аппроксимировать потенциальные возможности минимаксного правила для исходной задачи, задача определения функций мощности соответствующих тестов для практического задания может оказаться намного сложнее аналогичной задачи в случае простой гипотезы при простой альтернативе с фиксированными в соответствии с (3.8) параметрами шума.

Приведенный выше минимаксный критерий оптимизации, который является обобщением критерия Неймана—Пирсона на случай априори неизвестных параметров сигнала и помехи, может быть сформулирован и в терминах условного среднего риска в рамках общей теории статистических решений [106) при прежних ограничениях на множество возможных решающих правил.

Пусть минимаксное решающее правило удовлетворяет условию

где

— функция потерь, связанная с пропуском сигнала при данном .

Заметим, что вследствие наличия общего ограничения на вероятность ложной тревоги (3.5) или (3.6) потери, связанные с ложной тревогой, не учитываются.

При минимаксный критерий (3.9) эквивалентен максминному критерию (3.4). Более общий случай позволяет придать различный вес ошибкам, т. е. пропускам сигнала при различных