3.2.4. Синтез локально минимаксных решающих правил

По аналогии с решающими правилами (3.54) согласно обобщенной фундаментальной лемме Неймана — Пирсона [87] решающее правило по критерию (3.18) максимина производной функции мощности при и классе правил может быть записано в виде

где — плотности наименее благоприятных априорных распределений вероятности мешающих параметров при альтернативе и гипотезе. Здесь предполагается, что дифференцирование по параметру под знаком интеграла и функция интегрируема относительно Лебеговой меры на евклидовом пространстве.

Соответствующий локальный аналог существует и для подобных минимаксных и других рассмотренных видов минимаксных решающих правил. Так, если задача инвариантна относительно транзитивной в группы G и у — скалярный максимальный инвариант в то соответствующим локальным аналогом минимаксного правила (3.68) является правило с критической областью.

где — отношение правдоподобия максимального -инварианта в пространстве достаточной статистики задачи.

Действительно, будучи единственным решающим правилом фиксированного уровня а, максимизирующим с учетом соответствующего аналога теоремы Ханта-Стейна [122] это решающее правило является локально наиболее мощным и локально максиминным по критериям оптимальности (3.20) и (3.21). Заметим, что необходимое для применения теоремы Ханта — Стейна существование локально минимаксного правила в классе рандомизованных правил при очень слабых условиях гарантируется соответствующим аналогом теоремы существования минимаксного решающего правила ([87], гл. 6, задачи 1 и 2). При необходимости первые производные по y могут быть заменены ненулевыми производными наименьшего порядка либо производными по (см. п. 3.1.4).

Из (3.73) видно, что локально минимаксные решающие правила легко могут быть найдены по известным статистикам минимаксных решающих правил для . В более трудных случаях, когда минимаксное правило в замкнутом виде получить не удается, локально минимаксное правило все же может быть получено по (3.72) либо по соответствующим аналогам формул (3.47), (3.52) и (3.53).