6.5. Непараметрическое обнаружение сигналов на фоне коррелированного шума

При анализе и синтезе непараметрических обнаружителей, рассмотренных выше, предполагалось, что выборочные значения шума независимы. Такое предположение справедливо для внутренних шумов приемника и активных помех типа шумовой заградительной и придельной. Пассивные помехи, вызванные отражениями от земли, поверхности воды, гидрометеоров, дипольных отражателей являются, как известно, коррелированными, а задача обнаружения сигнала на фоне таких помех — типичной.

Когда предположение о независимости выборочных отсчетов не соблюдается, непараметрические обнаружители теряют свойство инвариантности по уровню ложных тревог.

Попытки анализа и синтеза непараметрических тестов различения гипотез при коррелированных отсчетах для конечного числа наблюдений наталкиваются на непреодолимые математические трудности. В настоящее время известны некоторые частные результаты, касающиеся асимптотического поведения непараметрических процедур в коррелированном шуме [1], а также синтеза асимптотически-непараметрического обнаружителя [263].

Использование марковской аппроксимации для зависимых наблюдений позволяет в ряде случаев получить аналитические соотношения для непараметрической обработки при конечном числе наблюдений.

Будем по-прежнему предполагать, что отсчеты шума в различных информационных каналах независимы (независимость по индексу ), а отсчеты шума одного канала зависимы (зависимость по индексу Кроме того, предположим, что отсчеты шума в одном канале образуют односвязную цепь Маркова.

Хотя квантование отсчетов процесса порождает цепь Маркова, связность которой в общем случае не совпадает со связностью исходного процесса [196], будем использовать для последовательности координат знакового вектора [см. (6.2)] и последовательности координат вектора бинарно-квантованных рангов [см. (6.8)] аппроксимацию односвязной цепью Маркова. Тогда для -мерной вероятности координат вектора имеем

Можно показать [264], что совместные вероятности для знакового теста, обозначаемые далее равны:

для гипотезы (функция распределения )

или с учетом того, что

для альтернативы (функция распределения

Рассмотрим соответствующие вероятности для рангового теста:

В отличие от знакового теста, при имеем Поскольку при справедливости гипотезы имеют место , то из очевидных соотношений

следует, что, как и для знакового теста, вероятности можно выразить через одну, например

Для альтернативы вероятности (6.46) определяются как

Одномерное распределение ранга определяется соотношением (6.9). Можно показать, что двумерное распределение рангов дается выражением [265]

где — двумерные функции распределения, соответствующие При в (6.49) эти величины меняются местами. В частном случае независимых наблюдений выражение (6.49) представимо в виде произведения двух сомножителей определяемых (6.9).

Таким образом, вероятности для знакового теста, выражаются через двумерные распределения , а вероятности для рангового теста — через двумерные распределения рангов которые в свою очередь определяются через

Рассмотрим двоичный вектор сумма координат которого равна Обозначим через число всех двоичных векторов, сумма координат которых равна l, а число комбинаций «01» и «10» равно i. Можно показать [265], что

где чиоло сочетаний из а по b.

Среди всех -мерных векторов, содержащих единиц, комбинации «01» и «10» могут встретиться раз, причем если символ целой части), то если то

Если комбинации «01», «10», «00», «11» содержатся в векторе соответственно раз, то, используя марковскую модель для вектора наблюдений и теорему сложения вероятностей, для вероятности получаем

Показатели, выражаются через [265]. Используя эти выражения, (6.51) и (6.44), можно показать, что для знакового теста при гипотезе

С учетом (6.47) из (6.51) для рангового теста имеем [266]

Для сокращения записи выражение, (6.53) представлено в форме, где фигурируют в явном виде.

Порог обнаружения С по заданной вероятности а находится из выражения

Из (6.52) и (6.53) следует, что распределение статистики при гипотезе и фиксированном для знакового и рангового тестов являются функцией только Р(1, 1).

Таким образом, при коррелированном марковском шуме исходная непараметрическая гипотеза в выборочном пространстве (т. е. класс непрерывных двумерных распределений) трансформируется в параметрическую гипотезу в пространстве знаковых и бинарных ранговых векторов, содержащую один неизвестный параметр. Другими словами, хотя при коррелированном шуме знаковый (бинарный ранговый) обнаружитель утрачивает непараметричность, уровень априорной неопределенности сводится к незнанию одного скалярного параметра. Следовательно, для адаптации обнаружителей в целях стабилизации а необходимо производить оценку вероятности Р(1, 1) и по результату этой оценки устанавливать порог обнаружения в соответствии с заранее рассчитанной зависимостью

Состоятельной и несмещенной оценкой Р(1, 1) служит

т. е. вероятность Р(1, 1) определяется корреляцией соседних компонент вектора

Ввиду того что вероятность выражается через Р(0, 0) [см. (6.44), (6.47)], то целесообразно производить одновременно и оценку

и использовать ее для получения более достоверной оценки Р(1, 1). Так, для знакового теста оценка Р(1, 1) может быть получена как

Для рангового обнаружителя комбинирование оценок (1,1) и Р(0, 0) с учетом (6.47) дает

В многоканальном обнаружителе с последовательным просмотром каналов в целях улучшения оценки Р(1, 1) кроме суммирования по наблюдениям возможно скользящее суммирование в пределах каждого наблюдения по d независимым каналам, соседним с испытуемым, например для знакового теста

Если вероятность наличия сигнала в каком-либо канале много меньше вероятности его отсутствия, то при достаточно большом оценку можно считать независящей от наличия полезного сигнала.

Схема адаптивного рангового многоканального обнаружителя с временным разделением каналов приведена на рис. 6.15 [266]. На рисунке ВР — вычислитель ранга, квантователь, Н — накопитель отсчетов за периодов наблюдения для каждого испытуемого канала, БО—блок оценки, где производится усреднение произведения по периоду наблюдений и по каналам, Д — дешифратор, в котором записана зависимость , ПУ — пороговое устройство.

Рис. 6.15. Структурная схема адаптивного рангового многоканального обнаружителя

Знаковый обнаружитель отличается тем, что вместо ВР и вводятся вычислитель знака, состоящий из линии задержки на интервал разрешения и схемы сравнения.

Вероятность обнаружения при установленном в. соответствии с (6.54) пороге С определяется как

Слагаемые входящие в (6.55), определяются выражением (6.51), в котором значения вероятностей соответствуют теперь альтернативному распределению смеси сигнала с шумом. Эти вероятности даются выражениями (6.45) и (6.48).

На рис. 6.16, а и б приведены примеры рассчитанных характеристик обнаружения соответственно для знакового и бинарного рангового некогерентных обнаружителей. Распределение огибающей шума задавалось двумерным рэлеевским законом

где — гамма-функция; — неполная гамма-функция; — мощность помехи; — коэффициент корреляции помехи.

Распределение огибающей смеси сигнала с помехой полагалось райсовским с плотностью

где — модифицированная функция Бесселя; а — отношение сигнал-помеха.

Рис. 6.16. Характеристики обнаружения знакового (а) и бинарного (б) РО (коррелированная помеха)

Из рис. 6.16 видно, что эффективность обнаружения слабо зависит от корреляции шума при малом значении коэффициента корреляции и падает с его увеличением.

Крестиками на рис. 6.16 обозначены результаты моделирования обнаружителей. Расчетные и экспериментальные данные как по D, так и по а отличаются на величины, не превышающие значений доверительного интервала (доверительная вероятность 0,95). Это свидетельствует о хорошем качестве адаптации обнаружителей и применимости односвязной марковской аппроксимации для знакового и бинарного рангового векторов.

Рассмотрим далее задачи синтеза последовательных знакового и рангового обнаружителей при условии воздействия марковского шума, используя классический подход, основанный на вычислении отношения правдоподобия и сравнении его с вальдовскими порогами.

Используя для независимых наблюдений схему доказательства А. Вальда [149] о принятии с вероятностью единица терминального решения за конечное число шагов, можно доказательство этого факта провести и для последовательности отсчетов, образующих марковскую цепь.

Следуя рекомендациям [2], будем применять в рамках процедуры последовательного анализа принцип локальной оптимальности,

связанный с оптимизацией процедуры на каждом шаге наблюдений и приводящий к вычислению отношения правдоподобия на каждом шаге. Кроме того, в пользу статистики отношения правдоподобия говорит тот факт, что последовательные обнаружители (знаковый и ранговый), основанные на этих статистиках, выигрывают при марковском шуме (по данным машинного эксперимента) у соответствующих обнаружителей Неймана—Пирсона в среднем числе наблюдений приблизительно столько же, сколько и при независимых наблюдениях.

При выводе соотношений, определяющих связь между вероятностями ошибочных решений с пороговыми уровнями, в [149] нигде не использовалось предположение о независимости наблюдений. Поэтому уровни А и В по-прежнему дают верхние оценки для соответствующих вероятностей ошибок.

При аппроксимации последовательности односвязной марковской цепью из (6.48) для отношения правдоподобия имеем

где показатели степени имеют тот же смысл, что и в (6.51), а индекс при указывает номер гипотезы.

Выражая через [265], группируя далее одинаковые вероятности и принимая во внимание равенство из (6.58) получаем

Поскольку все вероятности, входящие в (6.59), выражаются через три, например, то (6.59) представимо в виде

где для знакового обнаружителя

для бинарного рангового

Таким образом, вычисление в соответствии с (6.60) сводится к суммированию результатов наблюдений с весовыми коэффициентами зависящими от трех параметров:

При неизвестных характеристиках помехи возможен адаптивный подход к вычислению когда вместо неизвестных вероятностей используются их оценки.

Схема такого адаптивного РО представлена на рис. 6.17. Вычисление ранга и ожидаемого значения ранга происходит так же, как и по схеме рис. 6.9. В блоках оценки (БО) вычисляются оценки вероятностей которым соответствуют значения коэффициентов на выходе ПЗУ. После перемножения этих коэффициентов на соответствующие комбинации и накопления в синхронном накопителе (СН) результат испытывается на пороги. Схема измерителя (Изм) представлена на рис. 6.18. Она состоит из -разрядного (по числу временных каналов) регистра и схем И, ИЛИ.

Схема адаптивного знакового обнаружителя отличается от приведенной на рис. 6.17 тем, что вычислители рангов (ВР) в ней заменены на вычислители знаков.

Отсутствие аналитических зависимостей для среднего числа наблюдений и оперативной характеристики последовательной процедуры при зависимых наблюдениях лишает возможности получения их расчетным путем.

Определение показателей качества последовательных и адаптивных последовательных обнаружителей возможно методом статистического моделирования.

Реализация непараметрических обнаружителей рассмотренных типов не вызывает принципиальных затруднений и может быть выполнена на основе использования выпускаемых в настоящее время промышленностью микросхем: регистров, счетчиков, матричных ПЗУ, сумматоров и др. [267]. В [267], в частности, описана реализация рангового обнаружителя Неймана—Пирсона на микросхемах среднего уровня интеграции серии), работающего в реальном масштабе времени при интервале разрешения 1 мкс.

При очень коротких интервалах разрешения выполнение всех вычислительных операций, предусмотренных алгоритмом, в том числе аналого-цифровое преобразование на входе обнаружителя, может оказаться невозможным

из-за недостаточного быстродействия элементов схемы. В этом случае может быть применен легко реализуемый поточный метод обработки информации, при котором различные узлы выполняют операции, соответствующие различным, соседним интервалам разрешения.

Рис. 6.17. Структурная схема адаптивного бинарного РО

Рис. 6.18. Структурная схема измерителя

Перспективным следует считать использование более совершенных схем (БИС) при создании обнаружителя в виде микропроцессора, что позволит увеличить быстродействие, сократить габаритные размеры, массу аппаратуры и потребляемую мощность.