5.3. Оптимальное обнаружение сигналов на фоне негауссовских помех с независимыми значениями

К помехам с независимыми значениями относятся стационарные негауссовские шумы, имеющие широкополосный спектр в полосе . Аппроксимируя такой спектр прямоугольным, для корреляционной функций помехи получаем нули в точках , где Взяв отсчеты из входного колебания через интервал времени получим последовательность в которой отсчеты помехи некоррелированны. Если при этом полезный сигнал узкополоснее помехи, то согласно теореме отсчетов выборка будет эквивалентна непрерывному колебанию

Итак, рассматривается задача обнаружения сигнала в данных наблюдения содержащих независимые отсчеты помехи с заданным одномерным распределением.

5.3.1. Детерминированные и квазидетерминированные сигналы

Известно [1, 204], что АО обнаружитель детерминированного сигнала, принимаемого на фоне аддитивной помехи, должен сравнивать с «порогом» статистику

где

Этот алгоритм рассматривался О. Е. Антоновым [210], Б. Р. Левиным и А. Ф. Кушниром [220]. В [220] была доказана его асимптотическая

оптимальность. Статистике (5.18) соответствует канал обработки, состоящий из безынерционного нелинейного элемента (НЭ) с характеристикой преобразования и согласованного фильтра (СФ), рассчитанного на обнаруживаемый сигнал При гауссовском распределении нелинейность исчезает.

При задании помехи представлением

где некоррелированный гауссовский шум с единичной дисперсией; монотонно неубывающая функция с обратной функцией распределение выражается через распределение по формуле

При этом характеристика НЭ выражается через

Выразим моменты статистики (5.18), определяющие вы ходное отношение сигнал-помеха (5.3). При этом полагаем, что плотность удовлетворяет условиям

где а и b — границы интервала, на котором сосредоточена плотность Условия (5.22) выполняются, в частности, при открытом интервале а также для симметричных плотностей W. При отсутствии сигнала с учетом (5.22) получаем При наличии сигнала Раскладывая функцию в ряд Тейлора по степеням и и считая энергию сигнала фиксированной, а амплитуду сигнала пропорциональной MVH, в условиях асимптотической оптимальности статистики (5.18) получаем Таким образом, выходное отношение сигнал-помеха представляется формулой

где выходное отношение сигнал-помеха при гауссовской помехе дисперсия помехи);

Рис. 5.2. Асимптотически оптимальный обнаружитель детерминированного сигнала в широкополосной помехе

— коэффициент улучшения отношения сигнал-помеха при негауссовской помехе. С помощью неравенства Буняковского—Коши доказывается (см. [210]), что причем знак равенства соответствует гауссовской плотности

Для помех, заданных в виде (5.20),

Оценим коэффициент для помех, образованных из гауссовского шума при нелинейных искажениях следующего вида.

Ограничение логарифмического характера

Глубину ограничения, или коэффициент сжатия флуктуаций, будем характеризовать отношением , где дисперсия ограниченного шума. По (5.25) получаем

Ограничение экспоненциального характера (жесткое ограничение)

В данном случае 2

Симметричные экспоненциальные искажения

Преобразование (5.29) расширяет диапазон флуктуаций. Коэффициент расширения диапазона . Выражение для отличается от (5.28) только знаком аргумента функции

Несимметричные, экспоненциальные искажения

В данном случае

Квадратичные искажения

где При этом условии обратная функция является однозначной и

Оптимальный обнаружитель квазидетерминированного сигнала с неизвестными параметрами должен формировать усредненное отношение правдоподобия

где W — априорная плотность вероятности значений В условиях асимптотической оптимальности

При этом отношение правдоподобия (5.34) принимает вид

При гауссовском шуме из (5.35) получаем

Единственным отличием статистик (5.35), (5.36) является наличие в (5.35) нелинейного безынерционного преобразования

Таким образом, АО обнаружитель когерентного сигнала, рассчитанный на негауссовскую помеху, отличается от оптимального обнаружителя при гауссовской помехе дополнительным нелинейным безынерционным преобразованием, выполняемым до согласованной фильтрации или корреляционной обработки. Характеристика нелинейного преобразования определяется видом одномерного распределения помехи по формуле (5.19).

Характеристики обнаружения квазидетерминированного сигнала в условиях асимптотической оптимальности определяются целиком моментами условной статистики и распределением параметров сигнала . Указанные моменты при выполнении условий (5.22) равны

где

— значения параметров Q в принятом сигнале.

Так как от распределения помехи зависит только коэффициент улучшения выходного отношения сигнал-помеха то характеристики обнаружения при произвольном выражаются через характеристики для гауссовской помехи соотношением

Практически инвариантность формы кривых обнаружения к распределению выражаемая равенством (5.37), проявляется при достаточной нормализации условной статистики чего можно ожидать в условиях малого отношения сигнал-помеха на входе обнаружителя и вследствие этого продолжительного накопления сигнала.