6.2. Обнаружение при фиксированном объеме выборки

Целесообразность применения того или иного непараметрического теста при построении обнаружителя диктуется противоречивыми соображениями. Во-первых, тест должен обладать возможно большей мощностью, т. е. эффективностью обнаружения, которая, как правило, известна лишь в виде коэффициента АОЭ, и, во-вторых, должна быть реальной возможность технического воплощения обнаружителя для работы его в реальном масштабе времени. При этом, естественно, необходимо иметь в виду класс распределений при гипотезе и альтернативе, характерных для данной задачи.

Наиболее просты в практической реализации алгоритмы, основанные на знаковых статистиках. Для вычисления статистики при объеме выборки (числе наблюдений) они требуют выполнения порядка операций. В то же время знаковые обнаружители оказываются наименее мощными.

Алгоритмы, основанные на тестах согласия, сложны в вычислительном отношении, поэтому реализация таких обнаружителей, работающих в реальном масштабе времени, затруднительна. Кроме того, их эффективность для альтернатив, характерных для задач обнаружения, оказывается ниже, чем у ранговых обнаружителей.

Асимптотически оптимальные ранговые тесты хотя и являются наиболее эффективными (по крайней мере, в асимптотике, когда но в реализационном отношении весьма сложны.

Ранговые тесты типа Вилкоксона (Манна—Уитни в двухвыборочном варианте) по своей эффективности для значений незначительно уступают известным параметрическим в условиях, для которых последние оптимальны. Сложность таких ранговых алгоритмов — умеренная. Они требуют выполнения порядка операций.

Ранговые тесты, статистики которых используют квадратичные функции рангов, рассчитаны на альтернативы масштаба и поэтому не могут быть рекомендованы к применению в задачах обнаружения с альтернативами вида . В связи с этим наибольшее распространение получили ранговые обнаружители, основанные на статистиках вилкоксоновского типа или их модификациях [1, 232, 238— 241].

При выборе теста необходимо также рассматривать вопрос о числе входов обнаружителя (одновходовый, двухвходовый). Одновходовые обнаружители, которые используют одну выборку для принятия решения о наличии сигнала в этой выборке, реагируют на изменение симметрии распределения под действием полезного сигнала либо на изменение (тренд) сигнала в процессе наблюдения. Гипотезы симметрии распределения и независимости случайных величин в выборке соответствуют частным случаям задач обнаружения. Так, первая может иметь место лишь при когерентном обнаружении. Проверка второй гипотезы при некогерентном обнаружении не позволяет обнаружить постоянный сигнал. Поскольку используется лишь информация, связанная с изменением сигнала, а не с постоянным уровнем, эффективность таких одновходовых обнаружителей низка.

Двухвыборочные тесты охватывают более общие случаи обнаружения, они нуждаются в меньшем количестве априорных сведений. Объясняется это тем, что здесь используется опорная (шумовая) выборка, которая является фактически «обучающей», т. е. содержащей информацию о гипотезе. При этом признаком наличия сигнала служит «контраст» между опорными и испытуемыми отсчетами. Количественной мерой этого «контраста» и является ранговая статистика.

Рассмотрим двухвходовый РО Неймана—Пирсона [2401. Производится измерений исследуемого процесса При каждом измерении из соседних с испытуемым независимых информационных каналов, занятых только шумом, извлекается шумовая выборка

относительно которой вычисляется ранг отсчета При следующем наблюдении вычисляется ранг отсчета исследуемого канала относительно отсчетов новой шумовой выборки и т. д. для всех наблюдений. Далее по результатам определения рангового вектора вычисляется статистика S(R). Складывая, например, значения рангов, получаем статистику модифицированного теста Вилкоксона

Хотя формально запись (6.4) не отличается от записи (6.3), ранг для этих тестов определяется по-разному: в (6.4) ранг отсчета вычисляется относительно т. е. «своей» опорной выборки.

Нестационарность шума, приводящая к тому, что его выборка может при первом наблюдении оказаться непредставительной для других, наблюдений, а также трудности, связанные с запоминанием этой выборки на все время наблюдения, заставляют отказаться от классического правила вычисления ранга и перейти к его модификации, когда опорная выборка обновляется при каждом наблюдении. Кроме того, модифицированный тест, использующий большую информацию о шуме (вследствие обновления помеховой выборки), оказывается и более эффективным.

Введем другую статистику, которая отличается от (6.4) на постоянную величину :

где — индикатор превышения над .

Аппаратурно удобнее вычислять статистику (6.5), аналитически также удобнее работать с выражением (6.5), отличие которого от (6.4) на постоянную известную величину не имеет принципиального значения.

Шумовые и исследуемую выборки, - а также результаты вычисления рангов при каждом наблюдении удобно представить в матричной форме

Алгоритм обнаружения имеет вид

где при знаке принимается гипотеза , а при знаке — гипотеза .

Располагая ранговым вектором результатов наблюдения можно использовать другую функцию от в качестве

статистики не обязательно вилкоксоновского типа. В частности, это может быть статистика, основанная на вычислении отношения правдоподобия рангового вектора.

где - вероятности ранга , при или статистика, основанная на бинарном квантовании рангов [241]:

где — порог квантования.

Рассмотренная модель соответствует радиолокационному обнаружителю, где в качестве независимых каналов используются каналы дальности (временное разрешение); возможно также использование скоростных доплеровских каналов (разрешение по частоте). В лазерных системах связи и локации, учитывая возможности получения очень узких лучей, для формирования опорной выборки можно использовать также и пространственные каналы (угловое разрешение). Возможно применение этой модели и в гидролокационных системах, связных системах, работающих с большой скважностью или использующих соседние по частоте каналы в качестве шумовых.

На рис. 6.1 приведена схема многоканального радиолокационного некогерентного РО с временным разделением каналов. Обнаружитель состоит из вычислителя рангов (ВР), вычислителя ранговой статистики (ВРС) и решающей схемы — порогового устройства (ПУ). Сигнал канала периода наблюдения с выхода детектора огибающей (Д) сравнивается в схемах сравнения (СС) с сигналами на выходе устройства запоминания опорной выборки соседних (предыдущих) независимых каналов. Результат сравнения величина равная нулю или единице. Количество единиц на выходах СС определяет ранг отсчета Счетчик инверсий (СИ) выражает это количество двоичным числом. Это число записывается в ячейку запоминающего устройства (ЗУ), где записаны значения рангов предыдущих периодов наблюдения, соответствующие каналу. По всем накопленным за наблюдений значениям рангов вычисляется статистика . В частном случае . Статистике (6.8) соответствует ВРС, дополненный квантователем (рис. 6.1, в).

Применение линии задержки в качестве УЗОВ позволяет осуществить скользящую обработку — вычисление рангов для всех элементов (каналов) разрешения последовательно, так как через интервал дискретизации величина займет место в опорной выборке и вычисление ранга будет уже производиться для канала, и т. д. для всех каналов. Таким образом, по истечении наблюдений задача обнаружения будет решена для всех каналов.

Если же среди отсчетов у есть сигнальный, то это приводит к искажению (уменьшению) статистики для последующих каналов, т. е. имеет место подавление одного сигнала другим. Это уменьшение статистики, затрудняющее обнаружение следующего сигнала, составляет в среднем n/2 (для сигналов одинаковой интенсивности), т. е. при равно примерно 2%, и им можно пренебречь. Можно и учесть это искажение, увеличив значение статистики (или соответственно уменьшив порог) на после того, как произошло обнаружение, для последующих элементов разрешения, т. е. на время, пока обнаруженный сигнал включается в шумовую выборку.

Рис. 6.1. Структурная схема многоканального рангового обнаружителя

Рассмотренный ранговый алгоритм обнаружения предполагает некогерентную обработку, т. е. обработку сигналов после их свертки (если зондирующий сигнал сложный) и детектирования Поэтому обнаружитель может применяться безотносительно к форме зондирующего сигнала (частотно-модулированного, с фазовой манипуляцией и др.). Влияние боковых лепестков свернутого сигнала в соседних каналах на вычисление ранговой статистики можно избежать, увеличив временной интервал между опорной и исследуемой выборками на один-два элемента разрешения. Таким образом, ограничения принципиального характера по виду зондирующего сигнала для РО отсутствуют.

Для вычисления рабочих характеристик обнаружителя необходимо знать распределения статистики при гипотезах, которые в свою очередь определяются распределениями рангов. Последние даются соотношениями [1]:

Выражение (6.10) показывает, что распределение ранга при гипотезе от распределения помехи не зависит, что и определяет непараметричность теста.

В соответствии с критерием Неймана-—Пирсона вероятность обнаружения D находится из соотношения

а порог С обнаружения по заданной вероятности ложной тревоги а — как корень уравнения:

где — максимальное значение статистики.

Распределение статистики Вилкоксона можно считать нормальным при Очевидно, что распределение статистики модифицированного теста (6.4) при этих условиях тем более можно считать нормальным. Однако использование нормальной аппроксимации для нахождения порога С по заданной а в соответствии с (6.12) не приводит к существенным ошибкам для не очень малых значений . Для значений а, характерных для радиолокационного обнаружения замена истинного усеченного распределения статистики на его «хвостах» нормальным приводит к неверным результатам.

Выражение для распределения статистики (6.5) имеет вид [249]

где — означает целую часть. Точные значения порога по заданным а находятся численным решением (6.12) с учетом (6.13).

Для определения вероятности обнаружения D по найденным значениям С можно воспользоваться нормальной аппроксимацией распределения так как значение соответствует средней части кривой распределения, где качество аппроксимации хорошее, а не ее «хвостам», т. е.

где — функция нормального распределения; — математическое ожидание и дисперсия статистики S. Можно показать, что определяются выражениями [249]

где

Поскольку в большинстве случаев шум принято считать нормальным, то оценка качества обнаружения необходима в первую очередь именно для этого предположения. Будем полагать, что распределение шума — рэлеевское (нормальное до детектирования) с плотностью

распределение смеси сигнала с шумом — райсовское (нефлуктуирующий сигнал) с плотностью

и смеси быстрофлуктуирующего (от наблюдения к наблюдению) сигнала с шумом — рэлеевское с плотностью

Рис. 6.2. Характеристики обнаружения для нефлуктуирующего (а) и флуктуирующего (б) сигналов

В этих выражениях a — отношение сигнал-шум; - модифицированная функция Бесселя.

Можно показать, что АОЭ рассматриваемого обнаружителя по отношению к эффективности накопителя квадратов отсчетов огибающей, являющемуся оптимальным в данных условиях при малом отношении сигнал-шум, составляет 75% для флуктуирующего и нефлуктуирующего сигналов [239]. Принимая во внимание, что при некогерентном накоплении энергия растет как [233], РО проигрывает оптимальному обнаружителю в пороговом отношении сигнал-шум при больших раз (или 0,6 дБ).

На рис. 6.2 приведены примеры рассчитанных характеристик обнаружения для нефлуктуирующего и флуктуирующего сигналов. Штриховой линией для сравнения показаны характеристики классического обнаружителя Неймана — Пирсона. Полученные результаты свидетельствуют о том, что рассмотренный РО проигрывает классическому в пороговом отношении сигнал-шум. Этот проигрыш зависит

от числа наблюдений , размера опорной (шумовой) выборки и вероятности а.

На рис. 6.3 приведены зависимости проигрыша П в пороговом отношении сигнал-шум (по уровню от числа наблюдений для различных значений а (сплошными линиями для нефлуктуирующего сигнала, штриховыми — для флуктуирующего). Для нефлуктуируфщего сигнала можно считать, что при обеспечивается проигрыш, не превышающий 1 дБ, т. е. близкий к асимптотическому значению 0,6 дБ. При флуктуирующем сигнале проигрыш при составляет дБ. Зависимость проигрыша от практически перестает ощущаться при для нефлуктуирующего сигнала и при для флуктуирующего.

Рис. 6.3. Зависимость проигрыша в пороговом отношении сигнал-шум П от числа испытаний

Потеря эффективности РО при малом объясняется ограниченно стью значения ранга и ранговой статистики. Значение ранга при не может быть больше 20, а ранговой статистики — больше . Поэтому при большом отношении сигнал-шум, а это как раз соответствует малому , как бы велико ни было значение отсчета значение ранга не превышает . Вследствие ограниченности значения ранга происходит потеря информации, тем большая, чем больше отношение а (меньше ). Этим же объясняются и большие потери при флуктуирующем сигнале.

С увеличением размера опорной выборки эффективность алгоритма увеличивается. Однако увеличение сверх уже практически не приводит к уменьшению проигрыша, это позволяет рекомендовать для практики

Ухудшение эффективности обнаружителя с уменьшением а также объясняется усеченностью ранговой статистики. Действительно, чем меньше а, тем ближе значение порога С к максимальному значению и, следовательно, обнаружение происходит тогда, когда наблюдаются сильные сигналы, т. е. когда сильнее всего сказывается эффект ограниченности ранга. В связи со сказанным при малых малых

и флуктуирующем сигнале целесообразно увеличивать сверх 20.

Таким образом, из приведенных данных можно сделать вывод, что, РО при малых и умеренных значениях отношения сигнал-шум (соответствующих ) незначительно уступает классическому при некогерентном обнаружении стационарного (нефлуктуирукщего) сигнала в гауссовских помехах. При флуктуирующем сигнале потери РО уже необходимо учитывать. При больших отношениях сигнал-шум (соответствующих потери возрастают настолько, что применение РО становится нецелесообразным.

Следует подчеркнуть, что сравнение РО производилось с идеальным классическим, аппаратурная реализация которого приводит к ухудшению его характеристик по пороговому отношению сигнал-шум на и более. Здесь имеются в виду неравномерность суммирования накопительного устройства аналогового типа, нестабильность порогового уровня и коэффициента усиления приемника, «запас» по пороговому уровню, наличие нелинейностей в приемном тракте и пр. При ранговом обнаружении такого рода дополнительных потерь не происходит. Заметим также, что применение квадратичного детектирования (вместо линейного), выделяющего квадрат огибающей, не изменяет результатов расчета характеристик РО, поскольку любые монотонные преобразования огибающей не изменяют ранговых соотношений между отсчетами.

Для обнаружителя, основанного на бинарном квантовании рангов, статистика (6.8), т. е. величина, определяемая числом К превышений значениями рангов порога квантования распределена по биномиальному закону

где i — индекс гипотезы.

Вероятность от распределения шума не зависит и равна

Вероятность определяется как

Для распределений (6.17) и (6.18) выражения для можно найти в явном виде. Они равны соответственно [252]:

В соответствии с критерием Неймана—Пирсона вероятность обнаружения D находится из соотношения

а порог обнаружения С по заданной вероятности а — как корень уравнения;

Результаты расчета характеристик обнаружения с использованием соотношений (6.19)-(6.25) свидетельствуют, что при переходе к бинарному квантованию рангов проигрыш по сравнению с обнаружением, основанным на сумме рангов, не более 0,5 дБ при Для флуктуирующего сигнала бинарный обнаружитель оказывается даже эффективнее. Выигрыш его колеблется в пределах 0,2-0,7 дБ. Оптимальное значение порога квантования С для широкого диапазона отношения а составляет

Перспективным следует считать применение непараметрической обработки в задачах обнаружения в тех устройствах, где сигнал подвергается нелинейному преобразованию, например в логарифмическом приемнике. Распределение шума, подвергшегося такому преобразованию, изменяется, поэтому накопитель, традиционно применяемый на выходе приемника, осуществляет при гауссовском шуме уже неоптимальную обработку. Расчеты показывают что в этом случае проигрыш по сравнению с обнаружением с линейной амплитудной характеристикой приемника при для моделей шума и сигнала (6.16) и (6.17) равен примерно 2 дБ. Кроме того, задача стабилизации а при логарифмическом усилении значительно усложняет так как изменение коэффициента усиления или порога на несколько процентов приводит к изменению а на несколько порядков.

Использование ранговой обработки автоматически решает задачу стабилизации а и обеспечивает характеристики обнаружения такие же, как и при линейном усилителе. Происходит это потому, что любое монотонное преобразование сигналов не изменяет соотношений между ними (ранговых), а следовательно, не влияет на качество обнаружения. Таким образом, сочетание ранговой обработки с логарифмическим усилением позволяет увеличить динамический диапазон приемника практически без ухудшения качества обнаружения и решает задачу стабилизации вероятности а.

Хаотическая импульсная помеха (ХИП) является, как известно, одной из наиболее распространенных [206]; она может возникать в приемном устройстве из-за воздействия сигналов соседних радиоэлектронных устройств.

Ранговый обнаружитель сохраняет свойство непараметричности и в присутствии ХИП. Независимость распределения ранга от наличия помехи и значений ее параметров может быть доказана аналитически при достаточно общих предположениях относительно ХИП, шума и сигнала, действующих в системе [243].

Методика расчета характеристик обнаружения остается прежней. Наличие ХИП, естественно, ухудшает обнаруживаемость сигнала (уменьшает D), что формально обусловлено изменением вследствие наличия ХИП.

Вообще непараметричность РО сохраняется при всякой нестационарной несинхронной с периодом наблюдения помехой, частным случаем которой является ХИП. Качество обнаружения при этом определяется средним значением отношения сигнал-шум (сигнал-помеха).

Как указывалось, ранговый алгоритм обнаружения сигнала на фоне рэлеевского шума незначительно уступает по эффективности оптимальному при малых и умеренных отношениях сигнал-шум. В то же время при изменении вида функции распределения шума ранговая процедура может оказаться значительно эффективнее классической, оптимальной при рэлеевском (нормальном до детектирования) шуме.

Хотя большинство авторов указывают на свойство устойчивости непараметрических тестов, данные об их эффективности для выборок конечного объема при шумах, отличных от нормального, практически отсутствуют.

Примем за меру устойчивости обнаружителей, удовлетворяющих требованию изменение вероятности D (или эквивалентное приращение порогового отношения а) при изменении распределения шума постоянной (единичной) мощности.

Используя соотношения, приведенные в [244], можно показать, что мощность любого (а не только нормального) узкополосного стационарного случайного процесса равна половине мощности его огибающей. В связи с этим мощность огибающей шума (второй начальный момент) полагаем равной двум при следующих законах распределения:

где — гамма-функция; — неполная гамма функция. Нормировка приводит к записи (6.26) в однопараметрической форме.

Поскольку при наличии сигнала обычно меняется вид функции распределения огибающей, общепринятые в математической статистике альтернативы сдвига или масштаба неприменимы. Можно показать, что распределение огибающей векторной суммы сигнала с амплитудой U и шума описывается соотношением [245]

С помощью (6.27) для каждого можно определить параметры (6.15) распределения статистики (6.5) при альтернативе для расчета характеристик обнаружения. Для классического обнаружителя, работающего по сумме квадратов отсчетов огибающей (оптимального при слабом сигнале и гауссовой помехе), определение порогового уровня по заданной вероятности а производится с использованием представления функции распределения рядом Эджворта. При определении D используется нормальная аппроксимация.

Результаты расчетов показывают, что в большинстве случаев РО оказывается более эффективным, т. е. более устойчивым, чем оптимальный в рэлеевском шуме. Только для некоторых частных случаев наблюдается незначительное ухудшение эффективности. Зависимости потерь РО (сплошная кривая) и накопителя квадратов отсчетов (штриховая линия, работающих при наличии различных шумов, относительно накопителя, оптимального для рэлеевского шума, от отношения математическое ожидание приведены на рис. 6.4. Сплошная кривая построена для распределения Вейбулла. Расчетные потери для других распределений шума на рис. 6.4 обозначены точками и заглавными буквами, соответствующими названию вида шума. Они практически совпадают с потерями при вейбулловском шуме и одинаковых значениях отношения

Из рис. 6.4 видно также, что эффективность РО выше эффективности накопителя, работающего в тех же условиях, при . И только в вырожденном случае (плотность распределения шума близка к -функции) его эффективность существенно ниже.

Таким образом, РО оказывается более устойчивым к изменению помеховой обстановки в том смысле, что его характеристики изменяются слабо при изменении вида шума.

Необходимо подчеркнуть, что сравнение РО проводилось с обнаружителем, обеспечивающим заданную вероятность а, т. е. с параметрическим, адаптивным по пороговому уровню. Однако при неизвестном априори распределении шума неизвестен и способ адаптации по а. Дисперсия шума, как известно, является однозначной его характеристикой, по которой может быть установлен порог обнаружения по заданной а, только если шум гауссовский. При негауссовском шуме знание только дисперсии принципиально недостаточно для правильной установки порога. Поскольку такой адаптивный параметрический обнаружитель является своего рода абстракцией, то результаты сравнения с ним реально осуществимого рангового дают лишь потенциально

достижимые, т. е. максимально возможные значения проигрыша и минимально возможные значения выигрыша непараметрического теста. В практической ситуации РО окажется еще более эффективным.

При приеме слабого оптического сигнала распределение числа фотоэлектронов на выходе фоточувствительного элемента энергетического приемника аппроксимируется различными законами, отличными от нормального: законом Пуассона, Бозе—Эйнштейна, отрицательнобиномиальным [96]. Вообще для задачи обнаружения в оптическом диапазоне характерным является то, что обнаружение ведется в условиях априорной неопределенности, когда отсутствуют сведения о статистических распределениях сигналов и шумов и имеется сильная зависимость этих распределений от различных факторов (турбулентности атмосферы, помеховой обстановки, метеорологических условий, времени года, суток и т. д.), точный учет которых не представляется возможным.

Рис. 6.4. Зависимость проигрыша П РО и накопителя квадратов отсчетов относительно накопителя, оптимального для рэлеевского шума, от отношения

В этих условиях качество обнаружения может существенно отличаться от расчетного.

Применение непарамеягрической процедуры обнаружения может значительно повысить надежность обнаружения.

Рассмотренный алгоритм обнаружения можно применять для оптического диапазона [246]. Отсчет представляет в этом случае число фотоэлектронов, эмиттируемых в испытуемом канале, отсчеты у — число фотоэлектронов опорных каналов. В качестве опорных каналов могут быть использованы пространственные каналы, образованные, например, с помощью мозаичного приемника, формирующего многолепестковую диаграмму направленности с весьма узкой шириной парциальных диаграмм. При этом задачу обнаружения сигнала на выходе одного из приемных каналов можно решать с использованием для формирования ранговой статистики сигналов других каналов приемника.

Результаты расчета характеристик РО (по приведенной выше методике) и накопителя числа фотоэлектронов свидетельствует, что РО

для числа наблюдений в некоторых случаях проигрывает накопителю, в некоторых выигрывает. Величина проигрыша (выигрыша) колеблется в пределах +3 дБ в зависимости от вида распределения и его параметров 1247]. При мультипликативной логарифмически-нормальной помехе (за счет турбулентности атмосферы) РО оказывается более устойчивым, чем накопитель фотоэлектронов. При средней и сильной турбулентности РО выигрывает 2—3 дБ [248].