3.1.6. Минимаксный и связанные с ним критерии оптимизации многоальтернативного обнаружения

Задача многоальтернативного обнаружения возникает тогда, когда отсутствию сигнала противопоставляется не единственная альтернатива, соответствующая присутствию сигнала, а несколько несовместимых альтернатив, соответствующих различным сигналам, различным сочетаниям сигналов либо различным значениям некоторых параметров сигнала. Характерной чертой многоальтернативной задачи является необходимость принятия решений более чем двух различных видов, так что каждой альтернативе должно соответствовать особое решение.

В общем случае многоальтернативного обнаружения пространство решений содержит элемент. Так, задача обнаружения L видов сигналов будет одноальтернативной, если требуется определить, что присутствует любой из них, и многоальтернативной, если потребуется указать, какой именно из сигналов присутствует.

Многоальтернативное обнаружение часто называется обнаружением с оценкой значения дискретного параметра.

Нерандомизированное решающее правило для многоальтернативных задач сводится к разбиению входного выборочного пространства на непересекающихся областей решений так, что принадлежность выборки области X соответствует принятию решения. Нулевое решение будем, как обычно, относить к подтверждению гипотезы, т. е. решению об отсутствии сигнала.

Соответствующее рандомизированное решающее правило есть совокупность измеримых по Лебегу критических функций т. е.

Обозначим условные плотности распределений шума и его смеси с различными видами сигналов через

Здесь под , понимаются совокупности неизвестных параметров соответственно для смеси сигнала и помехи и одной помехи.

Предполагается, что априорно заданы лишь области определения неизвестных параметров, характеризующих совместно с (3.22) соответствующие непересекающиеся семейства распределений входной выборки. Априорные вероятности появления различного вида сигналов предполагаются либо неизвестными, либо несуществующими. Требуется построить решающее правило, в некотором смысле наилучшим образом, определяющее по принятой выборке, к какому семейству распределений она принадлежит. В качестве критерия оптимизации многоальтернативного обнаружения рассмотрим следующий максиминный критерий, являющийся одним из возможных вариантов распространения рассмотренного выше максиминного критерия (3.4) при на случай многоальтернативного обнаружения:

Здесь вероятность правильного обнаружения сигнала решающим правилом при оптимальное решающее правило; — множество решающих правил, удовлетворяющих принятому ограничению на вероятность ложной тревоги; контролируемые при оптимизации альтернативные области значений неизвестных параметров

Ниже, как и раньше, будут рассмотрены два вида ограничений на вероятность ложной тревоги а:

1) независимость а от параметров шума:

2) ограничение а сверху заданным значением:

где вероятность ложного обнаружения сигнала.

Как видно из (3.34) и (3.35), под ложной тревогой здесь подразумевается принятие решения о присутствии сигнала независимо от его вида при фактическом отсутствии сигналов, что эквивалентно где

Таким образом, задача сводится к проверке сложной гипотезы против L сложных альтернатив при ограничении , соответствующем (3.34) или (3.35).

Аналогично задачам двоичного обнаружения, для того чтобы максиминный критерий был работоспособен (не приводил к тривиальным бесполезным решающим правилам), вводятся также ограничения на контролируемые при оптимизации области значений неизвестных параметров смеси сигналов и помехи, так что в общем параметрическом пространстве задачи между областью гипотезы и областями альтернатив может располагаться зона безразличия Выбор областей как и раньше, определяется конкретными условиями задачи и условиями оптимизации, задаваемыми наблюдателем.

В частности, могут задаваться условием

где огибающие вероятности правильного обнаружения решающих правил оптимальных при априори известных значениях параметров

Если для каждой альтернативы выбраны последовательности зависящие от «расстояний» , (от до ), то по аналогии с (3.13) критерий оптимизации может потребовать при заданной гарантированной в , вероятности минимизации наибольшего из этом случае является оптимальным решающим правилом обнаружения различения сигналов по критерию минимума расстояния при

Здесь определяются аналогично (3.12) при условиях для парциальных критических функций

Так, пусть последовательности заданы неравенствами

где отношение интенсивностей сигнала и аддитивной помехи, константы. Тогда критерий требует минимизации наибольшего из взвешенных пороговых отношений сигнал-шум

Критерий (3.36) тесно связан с критерием (3.33). Так, если оптимальное решающее правило по (3.36) обеспечивает то оно является минимаксным решающим правилом по (3.33) с При этом максиминная вероятность правильного обнаружения в для (3.33) совпадает с гарантированной в (3.36) вероятностью ро-Таким образом, оптимальное решающее правило по критерию (3.36) может отыскиваться как минимаксное решающее правило по критерию (3.33) с соответственно подбираемыми . Поэтому в дальнейшем можно ориентироваться на критерий (3.33).

В рассматриваемых критериях оптимизации предполагается, что ошибки в определении вида сигнала столь же нежелательны, как и ошибки пропуска (необнаружения) сигналов. В этом случае наряду с являются достаточной характеристикой качества многоальтернативного обнаружения.

Вместе с тем выбором различных или приведенные критерии позволяют учитывать возможную неодинаковую заинтересованность наблюдателя в правильном обнаружении сигналов различного вида или учитывать различную потенциальную возможность их обнаружения. При одинаковой заинтересованности наблюдателя в правильном обнаружении сигналов различного вида множества в (3.33) следует выбирать одинаковыми, а в (3.37) можно положить . В этом случае критерии оказываются наиболее простыми и удобными.

Следует отметить, что оптимизации по рассматриваемым критериям дает некоторые гарантии (часто практически достаточно эффективные) и относительно ошибок в определении вида сигнала, так как суммарная вероятность последних для вида сигнала вместе с вероятностью пропуска сигнала равна

Приведенные выше критерии, а также и более общие критерии оптимизации могли бы быть сформулированы и в терминах условного среднего риска при фиксированных и . Действительно, критерий (3.33) может рассматриваться как частный случай минимаксного критерия с ограничением на вероятность ложной тревоги

Критерий (3.38) переходит в (3.33), если принять, что потери (риски), связанные с ошибками в определении вида сигналов, равны потерям пропуска этих сигналов в смысле принятия их за одну помеху, которые, в свою очередь, считать одинаковыми для всех сигналов, что соответствует простой функции потерь. В этом случае

Вследствиие наличия общего ограничения на вероятность ложной тревоги (3.34) или (3.35) потери, соответствующие отсутствию сигнала, не учитываются (приняты равными нулю).

Ограничения на контролируемые области неизвестных параметров также выражены с помощью функции потерь (3.39) — она положена равной нулю при всех

Нетрудно сформулировать критерии оптимального многоальтернативного обнаружения, являющиеся аналогами других рассмотренных выше критериев двоичного обнаружения, а также минимаксных методов оптимизации радиоэлектронных устройств по совокупности показателей качества [108].

Более общий вариант критерия (3.39) может применяться в случаях, когда необнаружению (пропуску) некоторых видов сигналов желательно придать особый вес при одинаковых что можно сделать назначением в (3.39) вместо соответствующих неодинаковых потерь . При этом (3.33) может быть заменен следующим минимаксным критерием:

Ввиду того что минимаксное решение в данном случае приводит к обобщающему (3.9) равенству

или

критерий (3.40) обеспечивает заданные соотношения между максиминными вероятностями ошибок пропуска различных видов сигналов:

Соответствующий вариант критерия (3.36) имеет вид

где определяется аналогично (3.12), а гарантированные значения для различных видов сигналов.

В частности, при критерий (3.44) обеспечивает минимум наибольшего взвешенного порогового отношения сигнал-шум при гарантированных

Заметим, что все сказанное выше о тесной связи между критериями (3.36) и (3.33) остается в силе и для критериев (3.44) и (3.40). При критерий (3.40), очевидно, становится эквивалентным критерию (3.33).

Дальнейшую детализацию гарантий, предоставляемых рассмотренными критериями, можно было бы получить установлением конкретных непротиворечивых ограничений типа равенств, неравенств или отношений вероятности любых видов ошибок или правильных решений. Однако в большинстве случаев приведенные критерии смогут удовлетворить практическим потребностям.

Отметим, что рассмотренные минимаксные, максиминные и связанные с ними критерии могут применяться и для решения задачи оптимизации различения без обнаружения. В этом случае, например, в (3.33) соответствует вероятности правильного распознавания вида сигнала с параметрами число возможных решений равно числу видов сигнала L, а ограничения на по вероятности ложной тревоги, разумеется, отсутствуют.

Многоальтернативное обнаружение рассматривалось выше для случая, когда различные виды сигналов альтернативны, т. е. не могут присутствовать одновременно. Однако на практике это условие может не выполняться. При этом обычно требуется указать, имеются ли сигналы, сколько их и какого именно они вида. Такая усложненная задача, как показано в [135], может рассматриваться как обычная многоальтернативная, если в качестве новых альтернативных

видов сигналов рассматривать все возможные априори сочетания (группы) элементарных видов сигналов. Следовательно, и в этом случае приложимы рассмотренные выше критерии оптимизации многоальтернативного обнаружения на фоне помех с неизвестными параметрами.