5.5. Оптимальное обнаружение сигналов на фоне негауссовских помех с полосовым спектром

Модели помех, рассмотренные в § 5.3, 5.4, соответствуют стационарным процессам с широкополосной формой спектра. Помехи с полосовым спектром требуют иного описания. Заметим, что в задачах с гауссовскими помехами модель в виде процесса с независимыми значениями может применяться для описания как широкополосных, так и полосовых помех, спектр которых шире спектра сигнала. Это обусловлено тем, что на выходе полосового фильтра (ПФ), рассчитанного на безыскаженную передачу сигнала, как широкополосные, так и полосовые помехи имеют одинаковый спектр; а спектр является достаточной характеристикой гауссовских помех.

При негауссовских помехах качество обнаружения сигналов определяется распределениями вероятности помехи, которые на выходе ПФ отличаются для широкополосных и полосовых помех. По этой причине последовательность с независимыми элементами нельзя применять для описания полосовых негауссовских помех.

Рассмотрим оптимальное обнаружение детерминированных сигналов на фоне негауссовских помех с полосовым спектром, основываясь на [224, 225]. Спектр помехи полагаем шире спектра сигнала.

Входная смесь сигнала с помехой является узкополосным колебанием

Квадратурные компоненты при наличии обнаруживаемого сигнала и в отсутствие его имеют следующий Состав: при ; при

где - квадратурные компоненты сигнала и помехи соответственно.

При известной частоте достаточными статистиками наблюдения являются медленно меняющиеся процессы Примем интервал дискретизации процессов в соответствии с теоремой отсчетов исходя из ширины спектра сигнальных компонент . При этом отсчеты будут не коррелированы с при и будем считать эти пары независимыми. Тогда плотность вероятности совокупности представляется произведением

где плотность вероятности квадратурных компонент помехи.

Логарифм отношения правдоподобия для детерминированного сигнала определяется выражением

Полагаем отношение сигнал-помеха на входе приемника малым и в силу этого разложим (5.107) в ряд Тейлора по степеням сигнала. Ограничившись линейной частью разложения, получим алгоритм АО обнаружителя в виде

Введем в рассмотрение плотность вероятности огибаю щей А и фазы узкополосного колебания. Эта плотность выражается через плотность квадратурных компонент соотношением

Подставляя (5.109) в (5.108), полагая и учитывая соотношения

получаем (5.108) в виде

где — распределение огибающей и фазы колебания помехи.

Колебание помехи на входе приемника имеет равномерное в интервале распределение фазы, что обусловлено неопределенностью момента времени поступления колебания на вход. При этом значения амплитуды и фазы, рассматриваемые в один момент времени, статистически не связаны, т. е.

где — плотности вероятности амплитуды и фазы помехи.

С учетом (5.111) логарифм отношения правдоподобия принимает вид

где

По алгоритму (5.112) обрабатываются выборки амплитуды и фазы входного колебания (5.106), взятые через интервал времени превышающий интервал корреляции помехи. Заметим, что, уменьшая интервал времени между выборками, мы можем только улучшить эффективность алгоритма (5.112). Поэтому алгоритм

будет не хуже (5.112), если принять . От алгоритма обработки огибающей и фазы, заданного выражением (5.114), можно перейти к эквивалентным алгоритмам:

где — такая безынерционная нелинейная обработка, при которой преобразование процесса дает на частоте колебание как коэффициент при первой гармонике в разложении функции в ряд Фурье, получаем соотношение, связывающее и :

Последнее можно привести к интегральному уравнению Абеля относительно

Решение уравнения (5.118) имеет вид

откуда следует

Рис. 5.12. Асимптотически оптимальный обнаружитель детерминированных сигналов на фоне негауссовских помех с полосовым спектром при нелинейной обработке видеочастоты (а) и высокой частоты (б)

Формула (5.119) при подстановке функции в виде (5.113) дает характеристику НЭ в алгоритме (5.116). Алгоритмам (5.115), (5.116) соответствуют схемы обработки, показанные на рис. 5.12, а и б соответственно. В схеме рис. 5.12, а специальная нелинейная обработка производится на видеочастоте, а амплитудная характеристика нелинейного элемента определяется распределением огибающей помехового колебания по (5.113). В схеме рис. 5.12,б нелинейная-обработка производится на высокой частоте. Амплитудная характеристика нелинейного элемента определяется по (5.119).

Таким образом, АО обнаружитель при полосовом спектре помехи структурно совпадает с АО обнаружителем при помехе с широкополосной формой спектра, отличаясь лишь видом характеристики НЭ, стоящего на входе. Отношение сигнал-помеха после обработки, определяемой алгоритмом (5.116), выражается соотношением

где - отношение сигнал-помеха на выходе согласованного фильтра (СФ), когда на входе действует смесь сигнала с белым гауссовским шумом; коэффициент повышения отношения сигнал-помеха в схеме

НЭ—СФ по сравнению с величиной когда помеха на входе НЭ негауссовская.

В п. 5.6.3 показано, что при характеристике НЭ в виде (5.119) коэффициент

Рис. 5.13. Эффективность нелинейной обработки для помех с полосовым спектром

Заметим, что коэффициент улучшения отношения сигнал-помеха при полосовых помехах больше, чем при широкополосных. Одномерные распределения мгновенных значений помех при таком сравнении считаются одинаковыми.

Объясняется это особенностью нелинейного преобразования процессов с полосовым спектром, рассеивающего мощность входного процесса по гармоникам несущей частоты. При таком рассеивании мощность помехи на выходе НЭ, попадающая в полосу СФ, меньше, чем при нелинейной обработке помех с неполосовым спектром. В подтверждение этого факта на рис. 5.13 показаны зависимости коэффициента для частотно-модулированных помех вида (5.207) (см. ниже, п. 5.6.7). График 1 вычислен по (5.121) и, следовательно, соответствует помехам с полосовым спектром. График 2 получен по. (5.24) для помех с широкополосным спектром.