7.3.4. Сравнение характеристик обнаружения асимптотически оптимальных алгоритмов

Характеристики обнаружения рассмотренных асимптотически оптимальных ранговых и знаково-ранговых обнаружителей имеют одинаковую форму, описываемую выражением (7.14) для детерминированного сигнала, и выражением (7.22) для квазидетерминированного сигнала. Анализ этих выражений показывает, что при заданной вероятности ложной тревоги а вероятность обнаружения определяется значением обобщенного отношения сигнал-шум .

Из выражений (7.4), (7.7) и (7.25) следует, что представляет собой отношение энергии переменной составляющей сигнала к средней мощности флуктуаций шума если рассматриваемый обнаружитель ранговый, или отношение полной энергии сигнала (с учетом постоянной составляющей) к средней мощности шума, если рассматриваемый обнаружитель знаково-ранговый, и не зависит от конкретной формы принимаемого сигнала.

Как известно [272], для любой плотности распределения со средним и дисперсией количество информации Фишера удовлетворяет соотношению

в котором знак равенства имеет место только при нормальном распределении; для нормированных плотностей .

Из неравенства непосредственно следует

Таким образом, обобщенное отношение сигнал-шум минимально и равно отношению сигнал-шум только при нормальном распределении и превышает его при всех других распределениях. Следовательно, нормальному распределению соответствуют наихудшие характеристики обнаружения. При других распределениях соответствующие асимптотически оптимальные обнаружители обеспечивают равномерно лучшие, чем при нормальном распределении характеристики обнаружения, при этом обобщенное отношение сигнал-шум оказывается большим для плотностей, содержащих большее количество информации Фишера.

Поскольку структура и свойства оптимальных алгоритмов обнаружения сигналов широко известны, мы не проводим специального сравнительного анализа структуры и свойств параметрических и непараметрических обнаружителей. Структура и эффективность наилучших для рассмотренных задач обнаружения параметрических критериев рассмотрены в [268], где приведена форма критериев и сформулированы условия, при которых достигается наибольшая асимптотическая мощность. Сравнение значений асимптотической эффективности ранговых и оптимальных неранговых обнаружителей показывает, что если оба обнаружителя асимптотически оптимальны для нормальной помехи, принимаемый сигнал соответствует ожидаемому, а плотность фактически действующей помехи то

при этом знак равенства достигается только при нормальном распределении. Доказательство этого результата дано X. Черновым и И. Р. Саважем [273].

В соответствии с результатами п. 7.3.2 ранговый и знаково-ранговый обнаружители с одинаковой функцией нелинейности имеют в классе плотностей 5% одинаковую асимптотическую мощность. Следовательно, соотношение (7.74) справедливо и для знаково-рангового обнаружителя, если только плотность действующей помехи