7.2. Знаково-ранговые обнаружители

Выделим из класса нормированных и центрированных плотностей с конечным количеством информации Фишера подкласс плотностей, симметричных относительно нуля, для которых помеха не содержит постоянной составляющей а выборочные значения сигнала удовлетворяют ограниченям:

Используя теорему Я. Гаека о критериях симметрии [268], можно показать, что асимптотически оптимальный знаково-ранговый алгоритм обнаружения детерминированного сигнала имеет вид

ранг элемента в последовательности порог вычисляется по (7.13). Характеристики обнаружения, соответствующие этому алгоритму, определяются выражением (7.14).

Асимптотически оптимальный знаково-ранговый алгоритм обнаружения квазидетерминированного сигнала (7.16), удовлетворяющего условиям (7.24), и (7.25) и, кроме того, допущениям

можно получить, используя в качестве -мерной достаточной статистики знаково-ранговую статистику с компонентами

Вычислив параметры предельного -мерного нормального распределения статистики (7.20) с компонентами (7.29) и далее предельных -распределений статистики в левой части выражения (7.19), можно показать, что структура асимптотически оптимального алгоритма обнаружения квазидетерминированного сигнала имеет вид

где порог вычисляется по (7.13),

а характеристики обнаружения определяются выражением (7.22). Схемы обнаружителей (7.26) и (7.30) представлены в на рис. 7.3 и 7.4.

Выбирая различные плотности из класса или и вычисляя соответствующие им -функции по (7.9), можно получить ряд алгоритмов, асимптотически оптимальных по отношению к выбранным плотностям, путем подстановки значений -функций в общие выражения, определяющие структуру обнаружителей детерминированного или квазидетерминированного сигналов.

Рис. 7.3. Структурная схема знаково-рангового асимптотически оптимального обнаружителя детерминированного сигнала

В частности, при действии детерминированного сигнала ранговый алгоритм типа Ван дер Вардена имеет структуру

и является асимптотически оптимальным для помехи с нормальной плотностью распределения

которой соответствует характеристика нелинейного преобразователя

Ранговый алгоритм типа Вилкоксона является асимптотически оптимальным для помехи с логистической плотностью распределения

и имеет форму

Характеристика преобразователя функции рангов при логистической плотности оказывается линейной и имеет вид

Используя выражения (7.26), (7.32) и (7.34), устанавливаем структуру знаково-ранговых алгоритмов типа Ван дер Вардена

и типа Вилкоксона

которые являются асимптотически оптимальными для соответствующих плотностей при отсутствии у помехи неизвестной постоянной составляющей.

Рис. 7.4. Структурная схема знаково-рангового асимптотически оптимального обнаружителя квазидетерминированного сигнала

Если помеха имеет плотность распределения Лапласа

то вычисление характеристики нелинейного преобразователя дает

Подставив функцию (7.36) в (7.26) и учитывая, что поскольку ранги есть целые положительные

числа, получим алгоритм асимптотически оптимальный для шума с распределением Лапласа при Этот алгоритм использует только знаки элементов выборки и называется знаковым.

Структура асимптотически оптимальных непараметрических обнаружителей может быть конкретизирована и по отношению к определенным видам принимаемого сигнала. Широко известны знаковые и знаково-ранговые обнаружители постоянного сигнала [1], структуру которых легко установить и на основе указанных общих результатов.