1.4.2. Разрывный сигнал с неизвестной длительностью

Если полезный сигнал недифференцируем по неизвестному энергетическому параметру, то полученные формулы для вероятностей ошибок неприменимы. Примером недифференцируемого (разрывного) сигнала может служить прямоугольный импульс. Рассмотрим обнаружение прямоугольного импульса

на фоне белого шума с двусторонней спектральной плотностью Полагаем, что неизвестная длительность сигнала (1.204) принимает значения из априорного интервала а для обнаружения сигнала используется приемник максимального правдоподобия (1.53). Как уже отмечалось выше вопрос об асимптотической оптимальности приемника максимального правдоподобия для недифференцируемых сигналов остается открытым.

В соответствии с определением рассмотренный приемник вырабатывает логарифм ФОП (1.9)

для всех и принимает решение о наличии сигнала, когда Реализация приемника максимального правдоподобия для сигнала относительно проста, поскольку в форме (1.205) может быть получена как непрерывная функция . Действительно, можно интерпретировать как сигнал на выходе интегратора, на вход которого подается разность Заметим, что для обнаружения сигналов с неизвестной длительностью более сложной формы, чем (1.204), необходимо в общем случае использовать многоканальные приемники [27].

Найдем вероятности ошибок 1-го и 2-го рода при обнаружении сигнала (1.204) приемником максимального правдоподобия. При отсутствии сигнала на входе приемника

Обозначим

максимальное отношение сигнал-шум и перейдем к нормированному логарифму функционала отношения правдоподобия . Решение о наличии сигнала принимается, когда нормированный порог. Следовательно, вероятность ложной тревоги , или

где

Поскольку — реализация марковского процесса с коэффициентами сноса и диффузии

то вероятность (1.206) определяется соотношением [41, 42]

Здесь решение уравнения

при граничных условиях

и начальном условии

где . Применяя метод отражения с переменой знака [45], получаем решение уравнения (1.211) при коэффициентах (1.209) в виде

. Подставляя (1.214) при в (1.210), а (1.210) в (1.207), находим вероятность ложной тревоги при обнаружении сигнала с неизвестной длительностью

Эта формула несколько упрощается при , т. е. когда неизвестная длительность сигнала может принимать значения из интервала :

Если , т. е. априорный интервал определения неизвестной длительности стягивается в точку, то и из (1.215) имеем

что совпадает с вероятностью ложной тревоги при обнаружении сигнала с априори известной длительностью [1, 29, 42].

Общее выражение для вероятности ложней тревоги довольно громоздко, поэтому может оказаться целесообразным использование асимптотической формулы, справедливой при больших отношениях сигнал-шум :

Перейдем к определению вероятности пропуска сигнала При наличии на входе приемника сигнала (1.204) нормированный логарифм ФОП

По определению , где — реализация марковского процесса с коэффициентами сноса и диффузии

Аналогично (1.210)

где — решение уравнения (1.211) с граничными услсдеиями (1.212) и с начальным условием

при коэффициентах сноса и диффузии (1.220). Опять используя для решения уравнения (1.211) метод отражения с переменой знака [45], находим, что

где . Эта формула несколько упрощается при :

Если же для вероятности пропуска имеем

что совпадает с вероятностью пропуска при обнаружении сигнала с априори известной длительностью [1, 29, 42].

Таким образом, при обнаружении сигнала с неизвестной длительностью приемником максимального правдоподобия вероятности ошибок рода могут быть найдены из (1.215), (1.221).

В качестве примера рассмотрим обнаружение сигнала (1.204), когда его неизвестная длительность , а априорный интервал определения неизвестной длительности есть При использовании приемника максимального правдоподобия вероятность

ложной тревоги будет определяться из (1.216) при , а выражение для вероятности пропуска сигнала (1.221) примет вид

Здесь учтено, что при максимальное отношение сигнал-шум отношению сигнал-шум для принятого сигнала (1.12).

На рис. 1.24 приведены зависимости вероятности правильного обнаружения сигнала с неизвестной длительностью от отношения сигнал-шум при фиксированных значениях вероятности ложной тревоги. На этом же рисунке для сравнения нанесены штриховые кривые обнаружения для сигнала с априори известной длительностью (1.217), (1.223). Из рассмотрения кривых рис. 1.24 следует, что при потери в эффективности обнаружения из-за незнания длительности сигнала относительно невелики. При этом приведенная на рис. 1.24 зависимость для приемника максимального правдоподобия при представляет собой верхнюю границу вероятности правильного обнаружения. С уменьшением истинного значения длительности сигнала уменьшается и при достигает минимального значения

Рис. 1.24. Вероятность правильного обнаружения сигнала с неизвестной длительностью