1.3.2. Разрывный сигнал с одним неизвестным параметром

Пусть разрывный сигнал содержит лишь один неизвестный неэнергетический параметр . Поскольку — неэнергетический параметр, соответствующую нормированную сигнальную

функцию (1.14) можем записать как . Ограничимся рассмотрением класса сигналов, для которых при

а при

Согласно (1.121) сигнальная функция рассматриваемого разрывного сигнала не имеет второй производной при Так как сигнальная функция является функцией корреляции нормированной шумовой функции реализации логарифма ФОП недифференцируемы. Тем не менее при выполнении (1.121) эти реализации непрерывны с вероятностью 1 [25].

Вероятности ошибок рода в приемнике максимального правдоподобия, осуществляющем сравнение абсолютного максимума с порогом с, имеют вид (1.56). При этом согласно (1.57) для определения вероятности ложной тревоги надо найти функцию распределения абсолютного максимума реализации положение абсолютного максимума

Точное выражение для неизвестно. Однако, используя результаты, полученные Д. Пикандсом [60], можно найти асимптотическое выражение для справедливое при . Пусть стационарный случайный гауссовский процесс с нулевым средним и функцией корреляции . При этом при при

Согласно [12] назовем -выходом слева такой выход реализации процесса за уровень , перед которым в течение времени, не меньшего , не было пересечений этого уровня. В [60] показано, что поток -выходов реализаций процесса за уровень - является асимптотически пуассоновским при Используя полученное в этих -тах асимптотическое выражение для среднего числа -выходов, при имеем

Здесь

— гауссовский процесс, для которого ,

Найдем , для чего вероятность под знаком интеграла в (1.123) перепишем как

где

В рассматриваемом случае, поскольку функция корреляции шумовой функции допускает представление (1.121), следует положить Значит, функция корреляции гауссовского случайного процесса принимает вид

Такую функцию корреляции, как известно [45], имеет чисто диффузионный (винеровский) процесс. Следовательно, является реализацией марковского процесса, коэффициенты сноса и диффузии которого равны соответственно: Используя известную методику [41, 451, вероятность (1.124) можно записать как

Здесь решение уравнения

при начальном и граничных условиях

Применяя для решения уравнения (1.126) метод отражения с переменой знака [45] и подставляя результат в (1.125), из (1.124) находим

где интеграл вероятности (1.76).

Согласно (1.127) и (1.123)

так что Переходя затем в (1.122) от случайного процесса к шумовой функции , при

Здесь

Для конечных значений Н аппроксимируем распределение его предельным значением (1.128). Поскольку правая часть этой

формулы является неубывающей функцией лишь при аналогично (1.59) положим

Из этой формулы и (1.57) находим приближенное выражение для вероятности ложной тревоги

Точность этой формулы возрастает с увеличением и нормированного порога

Определим теперь вероятность, пропуска разрывного сигнала Полагая, что в принятой реализации присутствует полезный сигнал, обозначим, как и в п. 1.2.1, - значение абсолютного максимума при то же самое при . Здесь, как и ранее, А — интервал корреляции шумовой функции причем в силу свойств выходного сигнала приемника максимального правдоподобия . Если или, что то же самое, для большинства сигналов , то аналогично п. 1.2.1 можно показать, что случайные величины приближенно независимы. Следовательно, когда приближенное выражение для вероятности пропуска опять можно представить в виде

Приближенное значение вероятности при можно записать как

где определяется из (1.129). Функция в (1.64) представляет собой распределение величины абсолютного максимума при . При наличии сигнала и имеем где положение абсолютного максимума Аналогично [1221 можно показать, что при оценка максимального правдоподобия в среднеквадратическом. Следовательно, при больших отношениях сигнал-шум достаточно исследовать поведение абсолютного максимума малой окрестности Поэтому рассмотрим распределение

где e фиксировано и настолько мало, что для сигнальной функции (1.121) справедлива аппроксимация

Очевидно, если выбрано так, что , то при искомая функция Переходя к нормированному логарифму ФОП перепишем (1.132) как

Здесь — реализация гауссовского случайного процесса с функцией корреляции

Из этой формулы следует [44], что реализация гауссовского марковского процесса, причем значения этого процесса на неперекрывающихся интервалах статистически независимы. Отсюда, в частности,

Обозначим

Тогда при фиксированном значении

Так как по определению , то из (1.136), (1.138) получаем

где — плотность вероятности . В рассматриваемом случае

Найдем используя марковские свойства процесса при е.

Определим вначале переписав это распределение в виде

Здесь гауссовский марковский процесс с коэффициентами сноса и диффузии

Следовательно [41, 42, 44],

где — решение первого уравнения Фоккера—Планка—Колмогорова [44]

при граничных условиях и условии, заданном на правом конце интервала . После замены переменных решение уравнения (1.144) можно найти методом отражения с переменой знака [44]

Полагая здесь ей подставляя это решение в (1.143), имеем

интеграл вероятности (1.76).

Найдем теперь переписав это распределение аналогично (1.141):

Здесь — опять марковский гауссовский случайный процесс с коэффициентами сноса и диффузии.

В силу свойств марковского процесса можем записать

Функция — решение второго уравнения Фоккера—Планка— Колмогорова [44],

при граничных условиях и начальном условии Решая уравнение (1.149) методом отражения с переменой знака и подставляя решение в (1.148), опять приходим к формуле (1.145), так что Соответственно (1.139) принимает вид

Подставляя сюда подынтегральные функции (1.140) и (1.145), получаем

Так как отношение сигнал-шум предполагается большим, последнее выражение можно несколько упростить:

Выполняя здесь интегрирование, окончательно находим при больших, но конечных отношениях сигнал-шум

Подставляя (1.131) и (1.151) в (1.64), приходим к приближенному выражению для вероятности пропуска разрывного сигнала

при при Точность этой формулы, как и (1.130). растет с увеличением отношения сигнал-шум параметра m и нор мированного порога и.

Конкретизируем полученные общие соотношения применительно к обнаружению прямоугольного импульса на фоне белого шума. В этом случае сигнал

Пусть неизвестное временное положение этого сигнала принимает значения из априорного интервала а время наблюдения . Тогда нормированная сигнальная функция (1.14) записывается как [42]

а параметр .

На рис. 1.15 приведена зависимость средней вероятности ошибки обнаружения сигнала (1.153) приемником максимального правдоподобия (кривая 1). Зависимость рассчитана по формулам (1.130) и (1.152) при нормированном пороге оптимальном по критерию идеального наблюдателя для сигнала с известным

временном положением. Априорные вероятности наличия и отсутствия сигнала предполагались равными: , а параметр . Для сравнения на этом же рисунке кривой 3 представлена зависимость средней вероятности ошибки обнаружения сигнала с априори известным временным положением. Эта зависимость рассчитана по формулам (1.77), (1.78) при Из сопоставления кривых 1 и 3 следует, что незнание временного положения разрывного сигнала приводит к существенному увеличению средней вероятности ошибки обнаружения. При этом потери в эффективности обнаружения возрастают с увеличением параметра и отношения сигнал-шум dT.

Рис. 1.15. Средняя вероятность ошибки

Сравним далее вероятности ошибок при обнаружении разрывного сигнала (1.153) с вероятностями ошибок при обнаружении дифференцируемого сигнала с неизвестным временном положением. В качестве этого сигнала удобно использовать колокольный импульс

Положим, что сигналы (1.153) и одинаковую эквивалентную длитель ность

Для сигнала . Следовательно, параметр определяет число сигналов с эквивалентной длительностью которые могут быть размещены на априорном интервале определения неизвестного временного положения. Для сигнала (1.155)

Пусть сигналы (1.153) и (1.155) обладают одинаковыми эквивалентными длительностями (1.156) и одинаковыми отношениями сигнал-шум . Тогда вероятности ошибок при обнаружении сигнала (1.155) с неизвестным временным положением на фоне белого шума можно получить из (1.90), (1.91), если положить в них

На рис. 1.15 кривой 2 представлена зависимость средней вероятности ошибки обнаружения дифференцируемого сигнала с неизвестным временным положением при выполнении (1.158), . Из сравнения кривых и 2 на рис. 1.15 и сопоставления формул (1.9.0), (1.91) с формулами (1.130), (1.152) следует, что незнание временного положения разрывного сигнала приводит к большим потерям в эффективности обнаружения, чем незнание временного положения дифференцируемого сигнала. При этом относительные

потери в эффективности обнаружения разрывного сигнала (1.153) из-за незнания его временного положения по сравнению с обнаружением дифференцируемого сигнала (1.155) возрастают с увеличением отношения сигнал-шум.

При обнаружении сигнала (1.153) с неизвестным временным положением приближенные значения вероятностей ошибок можно найти, предполагая, что временное положение сигнала принимает одно из дискретных значений 114, 53]. При таком подходе вероятности ошибок определяются (1.94). Рассчитанная по этим формулам средняя вероятность ошибки нанесена на рис. 1.15 штриховой линией.

Из сравнения кривой 1 и штриховой кривой на этом рисунке и сопоставлении формул (1.130) и (1.152) с формулами (1.94) следует, что расчет по (1.94) приводит к значениям средней вероятности ошибки, существенно меньшим, чем расчет по (1.130) и (1.152). При этом точность формул (1.130) и (1.152) растет с увеличением и, в то время как поведение точности приближенных формул (1.94), полученных на основе искусственного сведения аналоговой системы к дискретной, неизвестно.

Оценить аналитически точность формул (1.130), (1.152) при конечных и, в общем случае затруднительно. Исключением является частный случай обнаружения сигнала (1.153) с неизвестным временным положением на фоне белого шума. Тогда, используя результаты [62, 63], можно получить точное выражение для вероятности ложной тревоги при . Согласно [62, 63] при вероятность ложной тревоги

Зависимость нанесена на рис. 1.16 сплошной линией. Для сравнения на этом же рисунке штриховой линией нанесена зависимость , рассчитанная по асимптотически точной формуле (1.130) при и штрих-пунктиром — приближенная зависимость рассчитанная по (1.94) также при Заметим, что при имеем Из рассмотрения кривых рис. 1.16 следует, что даже при для всех значений «асимптотически точная формула (1.130) обладает меньшей погрешностью, чем приближенная формула (1.94). При этом для значений нормированного порога точность формулы (1.130) оказывается вполне удовлетворительной. Более того, экспериментальные результаты, опубликованные в [37], показывают что при формула (1.130) обладает удовлетворительной точностью, уже когда .

Рис. 1.16. Вероятность ложной тревоги и ее аппроксимации