2.3.2. Синтез инвариантных правил проверки гипотез

Инвариантные правила проверки бинарных гипотез.

Синтез РНМ инвариантного правила начинается с общего представления класса Для этого вводится специальная статистика называемая максимальным инвариантом (МИ) группы G. Статистика — МИ группы G, если:

В приведенном выше примере

Отметим, что МИ — не единственная статистика, удовлетворяющая условиям (2.50). Действительно, при любой взаимнооднозначной функции статистика также удовлетворяет условиям (2.50) и поэтому является МИ. Данное обстоятельство позволяет в ряде случаев упростить техническую реализацию инвариантного правила соответствующим выбором МИ. Так, в рассматриваемом примере, полагая получаем МИ для вычисления которого не требуется извлечения квадратного корня.

Статистика МИ обладает тем важным свойством, что она принимает, в отличие от просто инвариантных статистик; разные значения на различных траекториях группы G (под траекторией понимается совокупность всех точек связанных друг с другом преобразованиями Тем самым МИ минимально редуцирует наблюдаемые данные и может быть использован для представления любой инвариантной статистики. Представление класса через МИ дается следующей теоремой правило принадлежит классу тогда и только тогда, когда существует такая функция , что его решающая функция где МИ группы .

Принцип инвариантности, редуцируя наблюдаемые данные до МИ, сокращает также параметрическое пространство 0. Математическое

выражение этого дается следующей теоремой [87]: если некоторая статистика инвариантна относительно группы МИ индуцированной в параметрическое пространство группы G, то распределение этой статистики зависит только от у. Из этой теоремы следует, что параметром семейства является и что функция мощности инвариантного правила зависит от только через , т. е. Это еще раз подтверждает независимость функции мощности инвариантного правила от изменения параметра под действием преобразований группы

В соответствии с приведенными теоремами при синтезе оптимального инвариантного правила сначала отыскиваются максимальные инварианты групп и находится семейство распределений . Затем через параметр у семейства вновь формулируются проверяемые гипотезы и ищется РНМ правило проверки этих гипотез. Проверяемые гипотезы в новой формулировке имеют вид

где соответственно образы множеств при отображении

Принцип инвариантности приводит к построению РНМ инвариантного правила, если оказывается семейством с монотонным относительно некоторой статистики отношением правдоподобия. Это условие обычно выполняется, когда МИ одномерен. В частности, в приведенном примере и семейство распределений МИ группы G имеет монотонное относительно статистики отношение правдоподобия. В тех случаях, когда где граничное значение параметра, решающая функция РНМ инвариантного правила

в остальных случаях, где постоянный порог определяется заданным уровнем а вероят ности ложной тревоги (порог находится из условия при . В рассмотренном примере РНМ инвариантное правило имеет решающую функцию

При построении РНМ инвариантных правил предполагалось выполнение ряда условий, которые соберем вместе для удобства использования принципа инвариантности. Эти условия состоят в следующем:

1) семейство распределений наблюдаемого процесса или выборки из него симметрично относительно группы G;

2) множества представляющие гипотезы инвариантны относительно индуцированной группы G;

3) семейство распределений МИ группы G имеет монотонное отношение правдоподобия.

Из перечисленных условий наиболее ограничительным оказывается требование монотонности отношения правдоподобия семейства Это требование выполняется обычно в тех случаях, когда МИ одномерен и исходное семейство экспоненциально. В случае многомерности МИ требование монотонности отношения правдоподобия, как правило, не выполняется.

Построение МИ.

Важным этапом при использовании принципа инвариантности является построение МИ. В ряде случаев МИ можно найти непосредственной проверкой условий (2.50) для некоторой статистики. Этот способ достаточно эффективен, если преобразование G представимо в виде группового произведения более простых преобразований , где — подгруппы G; МИ группы G ищется последовательным построением МИ для групп , где - подгруппа G, индуцированная в область значений статистики . Искомый МИ [87].

При некоторых условиях, налагаемых на группу G, существуют более удобные регулярные способы построения МИ. Впервые такой способ был предложен в [85]. Он основан на максимизации функционала Их определенного на группе G и зависящего от наблюдения х. Если при каждом функционал имеет единственный максимум, достигаемый при , то МИ группы . Данный способ требует подбора функционала с единственным максимумом на группе G.

Существуют также другие способы построения МИ [65, 70]. Приведем один их них, при котором группа G дополняется до транзитивной в пространстве X группы . Если G - коммутативная группа при всех и существует такая коммутативная группа , что

а) при всех ;

б) пересечение , где - единичное преобразование;

в) совокупность транзитивна в X, то для любых найдутся единственные преобразования и при которых ; статистики являются соответственно МИ групп .

Замечание. Если , где - взаимнооднозначная функция, то - также МЙ группы G.

Дадим пример использования данного способа. Пусть , где - n-мерное евклидово пространство векторов и операторы заданы диагональными матрицами где подгруппа G, индуцированная в область значений статистики Искомый МИ

При некоторых условиях, налагаемых на группу G, существуют более удобные регулярные способы построения МИ. Впервые такой способ был предложен в [85]. Он основан на максимизации функционала Их определенного на группе G и зависящего от наблюдения Если при каждом функционал имеет единственный максимум, достигаемый при то МИ группы Данный способ требует подбора функционала с единственным максимумом на группе

Существуют также другие способы построения МИ [65, 70]. Приведем один их них, при котором группа G дополняется до транзитивной в пространстве X группы . Если G — коммутативная группа при всех и существует такая коммутативная группа , что при всех ; б) пересечение где — единичное преобразование; в) совокупность транзитивна в X, то для любых найдутся единственные преобразования при которых статистики являются соответственно МИ групп .

Замечание. Если где взаимнооднозначная функция, то также группы

Дадим пример использования данного способа. Пусть где евклидово пространство векторов и операторы заданы диагональными матрицами где . Операторы задаются диагональными матрицами где При операторы представляются соответственно матрицами Поэтому Так как функция взаимнооднозначна относительно то МИ будет также статистика

Многоальтернативные инвариантные правила проверки гипотез.

Теория инвариантности допускает обобщение на многоальтернативный случай, если качество правил оценивать полной вероятностью правильного обнаружения, введенной в п. 2.1.3, и оптимальными (РНМ) считать правила, удовлетворяющие условиям (2.21). Для существования многоальтернативного РНМ инвариантного правила требуется, чтобы: 1) гипотеза сформулированная через параметры семейства распределений МИ, была простой; 2) семейства распределений МИ при каждой альтернативе , обладали монотонными относительно некоторых статистик отношениями правдоподобия и нормирующие множители распределений были одинаковыми при всех альтернативах; 3) существовала совокупность преобразований МИ, удовлетворяющая условиям (2.22). Решающая функция многоальтернативного РНМ инвариантного (нерандомизированного) правила

где постоянный порог определяется заданным уровнем а вероятности ложной тревоги.

РНМ инвариантные правила оптимальны в классе правил с инвариантной решающей функцией. Однако это не гарантирует допустимости (см. п. 2.1.3) РНМ инвариантных правил. Иногда РНМ инвариантное правило оказывается также РНМ несмещенным [87], что автоматически влечет его допустимость. В остальных случаях допустимость РНМ инвариантного правила надо специально доказывать. Интересно сравнить РНМ инвариантные правила с РНМ правилами, у которых функция мощности инвариантна относительно индуцированной группы G. Класс таких правил шире класса инвариантных правил. Поэтому РНМ правило в этом классе не менее эффективно, чем РНМ инвариантное правило, и, следовательно, предпочтительнее последнего. Однако РНМ инвариантное правило и РНМ правило с инвариантной функцией мощности совпадают, если семейство распределений наблюдаемого процесса имеет достаточные статистики, распределения которых образуют полное семейство [87]. Подобная ситуация довольно часто встречается в задачах обнаружения с экспоненциальными семействами распределений.

ЛНМ инвариантные правила.

В отсутствие РНМ инвариантных правил могут быть полезны ЛНМ инвариантные правила, максимизирующие производную функции мощности при малых значениях у. ЛНМ инвариантные правила строятся по той же схеме, что и ЛНМ несмещенные правила, с той лишь разницей, что наблюдаемый процесс заменяется МИ.