6.4. Адаптация ранговых последовательных обнаружителей

Правило различения гипотез, основанное на последовательном анализе отношения правдоподобия, как известно, оптимально для простых гипотезы и альтернативы (149, 152). При сложной гипотезе или (и) альтернативе, когда «расстояние» между ними неизвестно, последовательное

правило перестает быть оптимальным. Вероятности ошибок при этом могут в значительной степени отличаться от расчетных значений, а среднее число испытаний — от минимально возможного, т. е. от оптимального.

Для адаптации правила различения гипотез в общем случае необходимо находить функции распределения при гипотезах. Это требует, во-первых, достаточно большой длины обучающих последовательностей и, во-вторых, большого количества вычислений для определения соответствующих плотностей. Такие алгоритмы из-за своей сложности сказываются нереализуемыми.

Если известна априорная плотность вектора мешающих параметров, то можно их исключить путем усреднения по нему. Возможны формирование апостериорных распределений вектора Ф по обучающей выборке (с использованием априорной плотности и усреднение по ним. Если априорное распределение неизвестно, то можно задаться его видом, например принять его равномерным, и отношение правдоподобия вычислять приближенно, используя апостериорную оценку. По мере возрастания объема наблюдений апостериорное распределение перестает зависеть от априорного.

Для приближенного вычисления отношения правдоподобия можно вместо неизвестного использовать оценку максимального правдоподобия, найденную на тех же шагах наблюдений [21.

Сложность адаптации и качество ее зависят от размерности вектора Ф. В простейшем случае, когда неизвестным или изменяющимся является один, сравнительно легко контролируемый параметр (например, дисперсия шума), удается реализовать на практике достаточно эффективную адаптацию обнаружителя (см. гл. 4). Задача существенно усложняется, когда неизвестно несколько параметров.

При использовании непараметрических тестов, менее чувствительных к статистическим характеристикам входных данных, могут быть даны рекомендации по адаптивному вычислению отношения правдоподобия даже в случае непараметрической неопределенности. Например, возможна однопараметрическая адаптация последовательного знакового теста при обнаружении положительного сигнала на фоне шума с симметричной плотностью независимо от других характеристик шума.

Свойства непараметричности и устойчивости ранговых процедур позволяют относительно просто реализовать их адаптацию при последовательном анализе даже в случае непараметрической неопределенности. Как указывалось, при преобразовании исходного выборочного пространства в ранговое благодаря инвариантности распределения ранговой статистики происходит переход от сложной гипотезы к простой. Последовательные РО обеспечивают постоянство вероятности а, но при сложной альтернативе не обеспечивают заданной вероятности и минимально возможного а. Иными словами, выражения для отношения правдоподобия

зависят только от параметра альтернативного распределения Более того, показано, что для подоптимальной процедуры (6.36) вектор оказывается одномерным, т. е. представляет собой один параметр характеризующий в ранговом пространстве «расстояние» между гипотезами.

Таким образом, независимо от распределений при гипотезе и альтернативе задача адаптации обнаружителя, основанного на (6.36), сводится к однопараметрической адаптации. Свойство устойчивости здесь используется косвенно в том смысле, что именно это свойство позволяет обеспечить характеристики обнаружения, близкие к оптимальным, при различных распределениях входных данных. Устойчивость ранговых тестов дает возможность также подобрать плотность в выборочном пространстве, аппроксимирующую достаточно широкий класс распределений, на основании которой и рассчитывается отношение правдоподобия (6.35). При этом задача сводится к параметрической адаптации — определению числителя (6.35).

Рис. 6.9. Структурная схема бинарного РАПО

Адаптация обнаружителя, основанного на бинарном квантовании рангов [259].

Алгоритм бинарной последовательной процедуры (6.36) в соответствии с (6.34) для нестационарного шума представйм в виде

и сводится к весовому суммированию числа единиц и нулей и сравнению результата с порогами.

Логарифм отношения правдоподобия, как видно из (6.37), зависит лишь от одного параметра [см. (6.21)], который может быть заменен его оценкой максимального правдоподобия.

На рис. 6.9 представлена схема рангового адаптивного последовательного обнаружителя (РАПО). Она содержит два вычислителя рангов (ВР), аналогичных ВР схемы рис. 6.1. В первом ВР вычисляется ранг отсчета в испытуемом канале относительно шумовых отсчетов во втором — ожидаемое значение ранга содержащего смесь ожидаемого (расчетного) сигнала с действующим шумом относительно той же опорной выборки у. Суммирование отсчетов шума с ожидаемым сигналом, поступающим с генератора ожидаемого сигнала (ГОС), производится в линейной части приемника

на выходе УПЧ в сумматоре (2). Смесь детектируется вторым детектором аналогичным первому Значение ранга после бинарного квантования служит для оценки параметра в блоке оценки (БО) через частоту события . Вычислитель логарифма отношения правдоподобия (ВЛОП) выполняется в виде кодирующей матрицы, содержащей уже вычисленные значения логарифма для набора входных параметров На выходе ВЛОП образуется

где результат квантования ранга в пороговом устройстве (ПУ).

После суммирования в накопителе (Н) статистика сравнивается с порогами . В в пороговом устройстве (ПУ).

Оперативная характеристика и среднее число наблюдений РАПО, использующего для адаптации значения оценки зависят от этой оценки. Поэтому оперативную характеристику можно рассматривать как условную вероятность принятия гипотезы при наличии сигнала и параметре альтернативного распределения а при оценке т. е. .

Полагая условия стационарными , рассмотрим безусловную (усредненную по всем возможным значениям оценки) характеристику

где — распределение оценки .

Аналогично определим безусловное (усредненное по значениям оценки) среднее число наблюдений

Если оценка производится на основании l испытаний, то она может принимать значение, т. е. число превышений рангом порога квантования Оценка является оценкой максимального правдоподобия, она состоятельна, несмещенна и эффективна. Полагая результаты испытаний ранга на порог при l измерениях независимыми; приходим к биномиальному распределению

Для моделей распределений помехи (6.16) и смеси сигнала с помехой (6.17), (6.18) с использованием (6.21) — (6.23) и соотношений

(6.31)-(6.33), в которых значения заменены на значения k, вычислялись Далее из (6.38)-(6.40) определялись .

Очевидно, что при приближении отношения сигнал-шум к нулю среднее число наблюдений РАПО неограниченно возрастает. Поэтому для практической реализации обнаружителя целесообразно для усечения процедуры задаться некоторым минимально возможным значением . При этом адаптация будет производиться для всех значений . Для обнаружитель будет работать как последовательный неадаптирующийся при расчетном значении

Следовательно, если оценка оказывается ниже соответствующей значению , то она заменяется величиной .

Рис. 6.10. Характеристика обнаружения бинарного РАПО

Рис. 6.11. Зависимость безусловного среднего числа наблюдений от отношения сигнал-шум а для бинарного РАПО

При расчете характеристик (рис. 6.10, 6.11, нефлуктуирующий сигнал) полагалось Из рис. 6.10 видно, что вероятность D для всех в результате адаптации поддерживается на расчетном уровне . В то же время результаты моделирования, обозначенные крестиками, показывают, что действительные значения D превышают расчетное. Это превышение объясняется тем, что при больших значениях а, когда число наблюдений невелико, расчет становится грубым. Он гарантирует лишь верхние границы реализуемых вероятностей ошибок.

Зависимости приведены на рис. 6.11. Штриховыми линиями приведены зависимости для бинарной неадаптивной процедуры при расчетном . Поскольку в режиме адаптации полагалось кривые для этих обнаружителей при а совпадают. Для кривые расходятся и разница между ними характеризует выигрыш благодаря адаптации. Крестиками обозначены результаты моделирования адаптивной процедуры; точками — значения для последовательного неадаптивного бинарного РО, для которого соответствующие этим точкам значения а являются расчетными. Для флуктуирующего сигнала результаты аналогичны.

При радиолокационном обзоре общее время принятия решения по всем каналам в основном определяется временем принятия решения в «пустых» каналах. Поэтому практическое значение для оценки длительности наблюдений имеет случай гипотезы На рис. 6.12 представлена зависимость бинарного РАПО при справедливости гипотезы от значений ожидаемого отношения соответствующих оценкам Точками обозначены значения К для неадаптивного бинарного РО; крестиками — значения, являющиеся результатом моделирования РАПО.

Из приведенных на рис. 6.10-6.12 зависимостей видно, что среднее число наблюдений адаптивного обнаружителя и оптимального бинарного рангового практически совпадают.

Рис. 6.12. Зависимость безусловного среднего числа наблюдений от расчетного отношения сигнал-шум для бинарного РАПО

Адаптивный обнаружитель, основанный на анализе отношения правдоподобия рангового вектора [260].

Полученный вывод о том, что качество непоследовательного РО является практически инвариантным по отношению к виду помехи при постоянном значении отношения позволил предложить идею адаптации последовательного РО, основанного на отношении правдоподобия (6.35), с использованием оценок М и

Будем полагать, что распределение огибающей шума подчиняется закону Вейбулла

Закон (6.41), как указывалось, хорошо аппроксимирует наиболее часто встречающиеся на практике распределения, а рэлеевский и экспоненциальный законы являются его частными случаями. Поэтому если шум имеет действительно распределение (6.41) и параметры его измеряются точно, то обнаружитель, основанный на вычислении (6.35) является оптимальным ранговым.

Вероятности, входящие в (6.35), определяются соотношениями (6.9) и (6.10), а распределение огибающей смеси сигнала с шумом выражением (6.27).

Как показано в [262], оценок максимального правдоподобия для неизвестных параметров распределения (6.41) не существует. Предложенные же оценки сложны. Поэтому значения М и будем определять не через с и d, а непосредственно по выборке.

Рисунок 6.13 иллюстрирует способ построения такого многоканального цифрового РАПО, «настроенного» на вейбулловский шум [261].

По шумовой выборке в блоке оценки (БО) определяются

Далее в вычислительном устройстве (ВУ) вычисляются оценки отношения расчетного сигнала V (поступающего с ГОС) к действующей помехе и отношения . В ПЗУ записаны значения логарифма отношения правдоподобия . В соответствии со значением ранга и оценками а, b в n-м наблюдении из ПЗУ извлекается соответствующее значение которое поступает в накопитель (Н) и далее на пороговое устройство (ПУ), АЦП — аналого-цифровой преобразователь.

Рис. 6.13. Структурная схема многоканального РАПО

Вначале предположим, что М и измеряются точно, тогда рассчитанные с помощью соотношений (6.31)-(6.33) характеристики следует рассматривать как потенциально достижимые для для РАПО.

На рис. 6.14, а, б приведены зависимости пап от отношения для шума с распределением Вейбулла (Рэлея, экспоненциального) и различных значений расчетного отношения сигнал-шум для Там же крестиками нанесены значения для других шумов, обозначение вида которых дается начальными буквами названий соответствующих распределений (6.26), а значение параметра указано в скобках. Значения получены из зависимостей пересчетом параметра в отношение b. Значения для обнаружителя, оптимального при действующем шуме, на рис. 6.14, а и б обозначены кружочками.

Кривые имеют резонансный характер, причем максимальные значения достигаются при что соответствует рэлеевскому шуму .

Для расчетных отношений превышение относительно оптимальных значений в данном шуме незначительно; вероятность

D при этом сохраняет практически расчетное значение. Исключение составляет случай инверсного распределения шума, где оказывается ниже оптимального (для заданных ) значения, а реализуемая вероятность D несколько ниже расчетной

При расхождение в возрастает. Для большинства распределений, кроме логарифмически-нормального это отличие при альтернативе также незначительно.

Рис. 6.14. Зависимость среднего и безусловного среднего числа наблюдений от при гипотезе и при альтернативе для РАПО

При гипотезе отличие от оптимального значения оказывается существенным также и для Г-распределения (Г) при

На практике качество адаптации, а следовательно, и характеристики обнаружителя зависят от точности измерения параметров адаптации, ограниченной числом элементов шумовой выборки по которой производится измерение.

Следуя общей методике анализа последовательной процедуры [149], будем определять оперативную характеристику и среднее число

наблюдений в этом случае выражениями (6.31) и (6.32) с учетом усреднения (6.32) и знаменателя (6.33) по распределению оценок а и b, т. е.

где плотность совместного распределения а и b.

Полагая, что при оценки распределены по нормальному закону, и используя связь между а, b и можно показать, что

где параметры о, R находятся по распределению через его моменты т. е.

Результаты расчета , обозначенные на рис. 6.14, с и б треугольниками, свидетельствуют о соответствии их потенциально достижимым значениям с точностью порядка 10—20%.

Данные моделирования обнаружителя по 1000 испытаний при неизвестных параметрах шума приведены в табл. 6.1 ( — результат расчета при точно известных параметрах шума). Приведенным данным соответствуют завышенные значения относительно расчетного Результаты моделирования соответствуют заданным значениям и существенно не отличаются от них. Данные табл. 6.1 получены для аналогичные результаты имеют место и для

Таблица 6.1

Таким образом, данные расчетов характеристик для точно известных и для неизвестных параметров шума, а также результаты моделирования обнаружителя близки и свидетельствуют о том, что РАПО, «настроенный» на вейбулловский шум, обеспечивает качественные показатели, близкие к расчетным, в широком диапазоне изменения входных данных.

Характеристики аналогичной адаптивной по двум параметрам процедуры, основанной на вычислении отношения правдоподобия вектора наблюдений при воздействии шума, отличного от расчетного (рейбулловского), неудовлетворительны, особенно по а. Кроме того, реализация такого обнаружителя и для случая известного шума намного сложнее реализации РАПО.

Как было показано выше, проигрыш РО Неймана—Пирсона линейному накопителю при рэлеевском шуме с увеличением отношения сигнал-шум (уменьшением ) растет и при малом оказывается значительным. По сравнению с оптимальным последовательным обнаружителем адаптивные последовательные РО имеют при малых значительно меньшие потери чем неадаптивные. Так, для РАПО, основанного на вычислении отношения правдоподобия при проигрыш в среднем числе наблюдений при альтернативе порядка 100%, что соответствует проигрышу в пороговом отношении сигнал-шум порядка 3 дБ. При гипотезе проигрыш в среднем числе испытаний для больших значений составляет менее 10%, т. е. практически отсутствует.

Меньшие значения потерь и меньшая их зависимость от для РАПО объясняются тем, что значения рангов (в том числе максимальные) учитываются при вычислении статистики со своими весами (в отличие от равновесного суммирования у обнаружителя Неймана—Пирсона), зависящими от действующего отношения сигнал-шум, и, таким образом, потери информации за счет усеченности ранговой статистики оказываются меньшими. Это обстоятельство позволяет рекомендовать применение адаптивных последовательных РО и для больших отношений сигнал-шум (малых ).