1.1.2. Асимптотически оптимальный обнаружитель

Использование оптимального алгоритма обнаружения, определяем мого (1.5), (1.6), связано с трудностями [1, 29, 31]. Поэтому определенный интерес представляет исследование асимптотического поведения байесовского алгоритма обнаружения при неограниченном увеличении отношения сигнал-шум, когда часть этих трудностей удается преодолеть.

Перепишем оптимальное правило обнаружения (1.5) в виде: если

принимается решение о наличии сигнала, и если с — решение о его отсутствии. Здесь

Ограничимся вначале случаем, когда сигнал содержит лишь один неэнергетический параметр , причем для определенности положим Заметим, что к интервалу [-1; 1] с помощью простого линейного преобразования можно свести любой конечный интервал определения

неизвестного параметра. Для гауссовского шума (1.7), (1.8) ФОП (1.9) можно переписать как

где

нормированный член логарифма ФОП, зависящий от неизвестного параметра. Поскольку параметр предполагается неэнергетическим, отношение сигнал-шум не зависит от значения При этом представляет собой реализацию нестационарного гауссовского процесса, для которого, как это легко установить из свойств выходного сигнала оптимального приемника, приведенных в [27], Обозначив положение абсолютного (наибольшего) максимума при докажем следующее утверждение. Пусть:

1. Плотность вероятности непрерывна и

2. Реализация гауссовского случайного процесса дважды непрерывно дифференцируема с вероятностью 1.

3. Вероятность отсутствия сигнала а потери таковы, что . Тогда при асимптотически байесовский алгоритм обнаружения имеет вид: принимаются решение о наличии сигнала, если

и решение об отсутствии сигнала в противном случае.

По определению представляет собой [положение абсолютного максимума . Поэтому, кроме, может быть, значений всюду и для любого справедливо неравенство Из этого неравенства, используя формулу Тейлора, получаем где Переходя к пределу при , в силу непрерывности с вероятностью 1 имеем, что для всех Реализация гауссовского случайного процесса непрерывно дифференцируема с вероятностью 1. Так как гауссовская одномерная плотность вероятности ограничена при всех значениях аргумента, то на основании теоремы Булинской [25] можем утверждать, что вероятность одновременного выполнения равенств равна нулю. Следовательно, при имеем с вероятностью 1. Введем в рассмотрение функцию

Используя эту функцию в выражении для L (1.16), получаем

Поскольку непрерывна по d с вероятностью 1, интеграл в (1.21) существует с той же вероятностью, как обычный интеграл Римана [25]. При этом если и функция дважды непрерывно дифференцируема по с вероятностью 1. К тому же при

а подынтегральная функция в (1.21) абсолютно интегрируема при любых Действительно,

Таким образом, для интеграла под знаком логарифма в (1.21) с вероятностью 1 выполняются все условия применимости асимптотической формулы Лапласа [55]. Следовательно, когда то при с вероятностью 1 имеем

Рассмотрим теперь случай, когда принимает одно из граничных значений ±1. Известно [61], что событие имеет место с конечной вероятностью. Если то, очевидно, для всех Как и выше, с помощью формулы Тейлора отсюда получаем, что . Поскольку гауссовская случайная величина, то с вероятностью 1. Поэтому при имеем стой же вероятностью. Опять применяя асимптотическую формулу Лапласа, при для интеграла в (1.21) с вероятностью 1 находим

Совершенно аналогично при

Значит, при всех

Учитывая условие 3, имеем, что при

Последние два соотношения доказывают справедливость сформулированного выше утверждения (1.19).

Покажем теперь, что найденный асимптотически байесовский алгоритм не является вырожденным. Для этого достаточно установить, что при или [3]

Пусть сигнал присутствует на входе приемника. Тогда

где определяются из (1.13) и (1.14).

При наличии сигнала на входе приемника является оценкой максимального правдоподобия параметра Когда выполняется условие 2, оценка максимального правдоподобия состоятельна [1, 24, 29], т. е. Следовательно, при наличии сигнала

При отсутствии полезного сигнала где N (-реализация гауссовского случайного процесса с нулевым средним значением, единичной дисперсией и функцией корреляции . Так как статистические характеристики процесса не зависят от отношения сигнал-шум то среднее значение абсолютного максимума реализации при также не зависит от Значит, при и отсутствии сигнала

Согласно (1.26) и (1.27) соотношение (1.25) выполняется и асимптотически байесовский алгоритм (1.19) невырожден.

Таким образом, асимптотически байесовский обнаружитель должен вырабатывать член логарифма ФОП для всех значений и принимать решение о наличии полезного сигнала, если абсолютный максимум превышает порог Видим, что асимптотически байесовским оказывается обнаружение по методу максимального правдоподобия. Устройство, реализующее этот метод, будем в дальнейшем называть приемником максимального правдоподобия. Заметим, что структура асимптотически байесовского обнаружителя инвариантна к априорным вероятностям наличия и отсутствия сигнала, к априорной плотности вероятности неизвестного параметра и к значениям потерь.

Для байесовского алгоритма обнаружения порог С не зависит от отношения сигнал-шум. В некоторых случаях, например при обнаружении, оптимальном в смысле критерия Неймана—Пирсона, логарифм усредненного ФОП L (1.16) необходимо сравнивать с порогом с , который может возрастать с увеличением отношения сигнал-шум. Если значение порога с с увеличением растет достаточно быстро, то соотношение, аналогичное (1.24), может не выполняться. В таких случаях структура асимптотически оптимального обнаружителя имеет вид: принимается решение о наличии сигнала, если

Полагая в этой формуле опять имеем асимптотически байесовский обнаружитель. В общем случае с определяется в зависимости от используемого критерия оптимальности.

Рассмотрим теперь коротко условия 1—3, при которых получена предельная форма оптимального алгоритма обнаружения (1.19) или (1.28). Условия 1 и 3 налагают несущественные ограничения на априорные данные и потери, которые в прикладных задачах обычно выполняются. Условие 2 требует определенной регулярности реализации гауссовского случайного процесса. Для того чтобы реализация была дважды непрерывно дифференцируема с вероятностью 1, достаточно существования пяти непрерывных производных по сигнала при некоторых случаях это ограничение может быть ослаблено и достаточным оказывается существование двух непрерывных производных сигнала по неизвестному параметру .

Полученные результаты можно распространить на случай, когда полезный сигнал зависит от неизвестных неэнергетических параметров . Тогда L (1.16) можно переписать как

В силу определения неэнергетического параметра не зависит от .

Положим, что реализация дважды непрерывно дифференцируема по всем параметрам с вероятностью 1; априорная плотность вероятности непрерывна по всем параметрам . Обозначим От положение абсолютного максимума реализации при . С помощью асимптотической формулы Лапласа для многократных интегралов [55] исследуем поведение интеграла в (1.29), когда Получаем

Для байесовского обнаружителя опять выполняется (1.24), так что его предельная форма запишется как: принимаются решение о наличии сигнала, если и решение о его отсутствии, когда . В общем случае асимптотически оптимальный обнаружитель сигнала с несколькими неизвестными неэнергетическими параметрами должен вырабатывать функцию для всех определять ее абсолютный максимум и принимать решение о наличии сигнала, если

где с, как и ранее, зависит от заданного критерия оптимальности. Таким образом, асимптотически оптимальным оказывается обнаружение по методу максимального правдоподобия, как и при одном неизвестном неэнергетическом параметре сигнала. Это утверждение справедливо при

Неограниченного увеличения отношения сигнал-шум при помехе в виде белого шума можно добиться увеличением энергии сигнала или уменьшением спектральной плотности шума. При коррелированной помехе отношение сигнал-шум может быть сделано достаточно большим также из-за спектральных различий сигнала и шума.

Среди различных энергетических параметров (т. е. параметров, от которых зависит отношение сигнал-шум [271) простейшим является амплитуда. Действительно, амплитуда входит в реализацию наблюдаемых данных линейно, что упрощает анализ байесовского обнаружителя. Поэтому установим вначале предельную форму байесовского обнаружителя сигнала с неизвестной амплитудой. Положим, что при наличии полезного сигнала реализация наблюдаемых данных

где — значение неизвестной амплитуды. Так как амплитуда по определению может принимать только положительные значения, пока будем считать, что она распределена с плотностью вероятности

на интервале [0; 1], а затем укажем обобщение на случай . Для принятых условий усредненный ФОП можно представить в виде

где

- отношение сигнал-шум для сигнала с единичной амплитудой — решение уравнения (1.11) при замене его правой части на Подставляя (1.33) в (1.16), перепишем логарифм усредненного ФОП как

Найдем предельное значение интеграла в этой формуле при . Если — непрерывная функция, то для интеграла в (1.35) выполняются все условия применимости асимптотической формулы Лапласа [55]. Используя эту формулу, при получаем

В случае, когда применение асимптотической формулы Лапласа приводит при к предельному значению интеграла

Аналогичным образом, если

На примере случая рассмотрим поведение интеграла в (1.35) при если условие не выполняется. Пусть при

Тогда применение обобщения асимптотической формулы Лапласа приводит к результату

Здесь гамма-функция. В частном случае полагая получаем (1.38). Таким образом, при выполнении (1.39) и имеем

В силу ограничений, налагаемых на потери и априорные вероятности наличия и отсутствия сигнала (условие 3), при имеем Поскольку , то согласно (1.15) и (1.40) асимптотически байесовским правилом обнаружения будет следующее: принимается решение о наличии сигнала, если

и решение о его отсутствии, когда . Заметим, что то же самое правило получаем, если рассматривать только возможные значения Следовательно, когда неизвестная амплитуда определена на интервале асимптотически байесовским будет алгоритм (1.41). Если используется критерий оптимальности, отличный от байесовского, то аналогично (1.28), (1.31) асимптотически оптимальный алгоритм обнаружения имеет вид: решение о наличии сигнала выносится при

Положим теперь, что полезный сигнал кроме неизвестной амплитуды содержит еще неизвестных неэнергетических параметров , распределенных с плотностью вероятности в области . В этом случае при наличии сигнала

а усредненный ФОП (1.6) равен

Здесь

а определяется аналогично . Выше было показано, что ограничение априорного интервала определения амплитуды (при а > 0) не влияет на предельную форму оптимального обнаружителя. Соответственно предполагается, что интегрирование по а в (1.44) выполняется по той части интервала , где

Применяя опять формулу асимптотического интегрирования Лапласа, получаем из (1.44) асимптотическое значение при

Если же

Следовательно, асимптотически оптимальный алгоритм обнаружения для любого порога принимает вид: решение о наличии сигнала выносится, когда

Поскольку , то, положив здесь имеем асимптотически байесовский алгоритм, а при приходим к (1.41).

Обозначим

Тогда согласно (1.45) асимптотически оптимальный обнаружитель должен вырабатывать величину

которая не зависит от неизвестной амплитуды сигнала (1.43).

Определение структуры асимптотически байесовского обнаружителя сигнала с неизвестным произвольным энергетическим параметром вызывает некоторые затруднения. Их легко преодолеть, если ограничиться рассмотрением критериев оптимальности, у которых порог с возрастает достаточно быстро с увеличением отношения сигнал-шум.

Пусть полезный сигнал содержит один энергетический параметр с априорной плотностью вероятности . Положим, что в принятой реализации присутствует полезный сигнал . Тогда логарифм усредненного ФОП (1.16) можем записать в виде

Здесь при наличии полезного сигнала

нормированный логарифм ФОП, отношение сигнал-шум для принятого сигнала которое в общем случае зависит от истинного значения параметра Функция представляет собой реализацию нестационарного гауссовского случайного процесса, для которого [271

Здесь причем если непрерывная функция , то и ограничены при поскольку

Положим, что для рассматриваемого случая выполняются условия 1—3 п. 1.1.2. Обозначим положение абсолютного максимума используя асимптотическую формулу Лапласа, получаем, когда ,

Если в принятой реализации сигнал отсутствует, то

где N определяется соотношением (1.13). Выберем такое значение , что . Тогда, вводя нормированную функцию

перепишем (1.51) как

Используя свойства выходного сигнала оптимального приемника [271, нетрудно показать, что , где шах причем для непрерывной функции величины ограничены при . Поскольку значение выбиралось из условия , то, если , можно положить При этом равно отношению сигнал-шум при приеме сигнала с параметром Следовательно, если это отношение сигнал-шум возрастает, то d в (1.52) тоже возрастает. Применяя к (1.50) асимптотическую формулу Лапласа, аналогично (1.52) получаем при

В этой формуле положение абсолютного максимума .

Положим теперь, что используется критерий оптимальности, для которого с увеличением порог с возрастает настолько быстро, что . Тогда асимптотически оптимальный обнаружитель должен вырабатывать логарифм ФОП (1.9) и принимать решение о наличии сигнала, если

Таким образом, и при обнаружении сигнала с неизвестным энергетическим параметром асимптотически оптимальным является приемник максимального правдоподобия.

Достаточные условия, при которых имеет место неограниченное увеличение отношения сигнал-шум для сигнала с неизвестным энергетическим параметром, зависят от характера этого параметра. Например, при неизвестной длительности сигнала условие можно обеспечить увеличением амплитуды сигнала. Для неизвестной амплитуды если ограничена, а длительность сигнала неограниченно возрастает. Изменяя соответствующим образом характеристики помехи, также можно добиться выполнения условия .

Рис. 1.2. Приемник максимального правдоподобия

Рис. 1.3. Решающее устройство

Например, когда функция корреляции шума допускает представление в виде . где ограничена, то при всегда если .

Таким образом, для весьма широкого диапазона значений потерь и априорных вероятностей наличия сигнала для большого класса сигналов , неизвестных параметров и их априорных распределений асимптотически (с увеличением отношения сигнал-шум dT) оптимальным обнаружителем является приемник максимального правдоподобия. При этом структура приемника максимального правдоподобия инвариантна к значениям потерь и априорной вероятности наличия сигнала, а также к виду априорного распределения неизвестных параметров. Как следует из (1.31), (1.41) и (1.53), для синтеза приемника максимального правдоподобия достаточно знать границы априорной области определения неизвестных параметров.

На рис. 1.2 приведена схема приемника максимального правдоподобия для обнаружения сигнала с одним неизвестным параметром . Здесь , РУ - решающее устройство, а остальные обозначения соответствуют рис. 1.1. Так же, как и для байесовского обнаружителя, схема рис. 1.2 тем точнее реализует приемник максимального правдоподобия, чем меньше выбрано ДФ и чем больше корреляторов используется. Решающее

устройство на рис. 1.2 выбирает наибольший из v входных сигналов и сравнивает его с порогом с, задаваемым критерием оптимальности.

Решающее устройство может быть реализовано в различных вариантах, два из которых представлены на рис. 1.3. Первый из них (рис. 1.3, а) содержит блок «Макс», который выделяет наибольший из v выходных сигналов, и пороговое устройство с порогом с. Второй (рис. 1.3, б) содержит v пороговых устройств с одинаковыми порогами с. Выходы пороговых устройств подаются на логическую ячейку ИЛИ. Сигнал на выходе ячейки ИЛИ [решение о наличии сигнала ] появляется, если превышен порог хотя бы в одном из v пороговых устройств. В том частном случае, когда сигнал содержит неизвестный неэнергетический параметр, все . Соответственно отпадает необходимость в сумматорах на рис. 1.2, и функциональная схема приемника максимального правдоподобия несколько упрощается.