2.4. Инвариантные правила обнаружения и различения сигналов

2.4.1. Обнаружение и различение сигналов в гауссовском шуме с неизвестными характеристиками

Рассмотрим задачу обнаружения сигнала с произвольной начальной фазой на фоне гауссовского шума. Шум на входе ЛТП полагаем белым с корреляционной функцией сигнал при фиксированной фазе известным и имеющим единичную энергию. Наблюдаемым процессом , считаем колебание на выходе ЛТП с П-образной амплитудно-частотной характеристикой, единичным коэффициентом передачи и полосой пропускания априорно неопределенным параметрам принятого сигнала относим энергию и начальную фазу , к априорно неопределенному параметру шума — спектральную плотность .

Образуем выборку объема из отсчетов комплексной огибающей наблюдаемого процесса в моменты времени Плотность вероятности этой выборки

где — сигнальный вектор, образованный из отсчетов комплексной огибающей сигнала при норма в комплексном евклидовом пространстве.

Введем полезный параметр , где мешающий параметр и статистики скалярное произведение в комплексном евклидовом пространстве. При большом произведении (большой базе сигнала) статистики и Т можно приближенно представить в интегральной форме:

Тогда плотность (2.53) можно записать в виде плотности вероятности экспоненциального распределения

где . Через параметр дзадача обнаружения формулируется как задача проверки сложных гипотез:

Для решения этой задачи не удается воспользоваться принципом несмещенности, так как полезный параметр неодномерен. Поэтому попытаемся применить принцип инвариантности.

Неопределенность начальной фазы, энергии сигнала и спектральной плотности шума представим группой Замечая, что якобиан при нетрудно установить симметрию семейства с плотностью вероятности (2.55) относительно группы G. Группа G индуцируется в пространство значений статистики определяемой выражениями (2.54), в группу линейных преобразований с матрицами , у которых и остальные элементы равны нулю.

Статистики (2.54) согласно теореме факторизации достаточны для семейства Поэтому вместо выборки будем рассматривать статистику , а группу G — представлять линейными преобразованиями с матрицами С. Так как семейство распределений статистики является экспоненциальным, то индуцированная в пространство группа G состоит из линейных преобразований, матрицы которых . Легко проверить, что множества инвариантны относительно группы

Таким образом, к данной задаче применим принцип инвариантности. По методике п. 2.3.2 находим, что групп G и G соответственно равны . В терминах параметра у гипотезы формулируются в виде

Статистика Z имеет нецентральное бета-распределение с параметром нецентральности Семейство бета-распределений обладает монотонным относительно статистики Z отношением правдоподобия. Поэтому существует РНМ инвариантное правило проверки гипотез его решающая функция

Правило (2.56) обладает стабильной вероятностью ложной тревоги при любых изменениях спектральной плотности шума, обеспечивает инвариантность вероятности правильного обнаружения относительно начальной фазы сигнала и максимизирует эту вероятность для всех

отношений сигнал-шум в классе инвариантных правил. Так как в задаче имеются достаточные статистики (2.54) и их распределения согласно (2.55) и теореме о полноте семейства образуют полное семейство, то правило (2.56) максимизирует вероятность правильного обнаружения не только в классе инвариантных правил, но и в более широком классе правил, у которых функция мощности имеет отмеченные свойства инвариантности.

Структурная схема обнаружителя, реализующего правило (2.56), изображена на рис. 2.9. На рис. 2.10 даны характеристики обнаружения для различных значений Характеристики рассчитаны по таблицам F-распределения [74]. Из этих характеристик следуют те же выводы, что и при когерентном обнаружении сигнала с известной начальной фазой.

Рис. 2.9 Структурная схема обнаружителя некогерентного сигнала в шумах неизвестной мощности

Рис. 2.10. Характеристики обнаружения некогерентного сигнала в шумах неизвестной мощности

Усложним задачу обнаружения, полагая априорно неопределенной не только мощность шума, но и его корреляционную функцию (энергетический спектр). Строгое решение этой задачи методами теории инвариантности невозможно, так как полная неопределенность корреляционной функции представляется транзитивной группой, относительно которой МИ является константой. Однако могут быть получены приближенно инвариантные правила. Рассмотрим одно из них. Пусть в полосе частот обнаруживаемого сигнала существуют сигналы ортогональные к сигналу и друг к другу при любых временных задержках и имеющие такой же, как у сигнала амплитудно-частотный спектр. Используя эти сигналы, образуем выборку из комплексных случайных величин комплексная огибающая процесса на выходе ЛТП; комплексная огибающая сигнала

Если шум стационарный, то случайные величины не коррелированы между собой и имеют одинаковые дисперсии. Математические ожидания всех величин равны нулю в отсутствие обнаруживаемого сигнала . При наличии сигнала математические ожидания величин , остаются нулевыми, а математическое ожидание величины

принимает значение . Априорная неопределенность корреляционной функции шума выражается в неопределенности дисперсий случайных величин причем изменение корреляционной функции сопровождается «дружными» изменениями этих дисперсий и не влияет на некоррелированность величин если не нарушается стационарность шума.

С учетом отмеченных свойств выборки ее плотность вероятности

где дисперсия квадратурных составляющих величин При априорной неопределенности энергии Е, начальной фазы сигнала и корреляционной функции шума, выражающейся, как было отмечено, в неопределенности дисперсии гипотезы о наличии и от сутствии сигнала имеют вид

где параметры

Из (2.57) и (2.58) следует, что задача обнаружения симметрична относительно группы . Индуцированная группа G состоит из линейных операторов с матрицами , у которых . Применяя методику п. 2.3.2, находим МИ группы , где . Аналогично устанавливаем, что МИ группы G совпадает с отношением сигнал-шум на выходе фильтра, согласованного с обнаруживаемым сигналом. Плотность вероятности МИ

где — гамма-функция; — вырожденная гипергеометрическая функция;

Семейство распределений с плотностью вероятности (2.59) имеет монотонное отношение правдоподобия относительно статистики

Поэтому существует РНМ инвариантное правило. Раскрывая выражения для статистик U и Z, решающая функция этого правила

Структурная схема обнаружителя с решающей функцией (2.60) дана на рис. 2.11. Характеристики обнаружения полученного правила совпадают с характеристиками некогерентного обнаружения в шумах неизвестной мощности рис. 2.10, если положить и в качестве подставлять отношение сигнал-шум на выходе фильтра, согласованного с обнаруживаемым сигналом, при воздействии коррелированного шума. Из этих характеристик следует вывод о целесообразности использования сигналов с большой базой, так как с увеличением базы расширяются возможности построения ансамбля взаимно-ортогональных сигналов , что позволяет увеличить параметр и повысить благодаря этому эффективность обнаружения.

Рис. 2.11. Структурная схема обнаружителя некогерентного сигнала в шумах с неизвестным спектром

Инвариантность правила (2.60) выражается в стабильности вероятности ложной тревоги при изменении уровня шума и его корреляционной функции (если только не нарушается стационарность шума на интервале наблюдения) и в независимости вероятности правильного обнаружения от таких изменений характеристик шума, которые не сказываются на отношении сигнал-шум на выходе согласованного фильтра, причем вероятность правильного обнаружения максимальна при всех отношениях сигнал-шум.

Рис. 2.12. Структурная схема обнаружителя ортогональных сигналов в шумах неизвестной мощности

Рис. 2.13. Структурная схема обнаружителя ортогональных сигналов в шумах с неизвестным спектром

Следует отметить, что правило (2.60) не обеспечивает строгой инвариантности относительно корреляционной функции шума, так как не существует сигналов, сохраняющих идеальную ортогональность

при любых относительных задержках. Однако его устойчивость к изменению корреляционной функции шума будет достаточно высокой, если интервал корреляции шума меняется в конечных пределах и взаимно-корреляционные функции сигналов s, имеют малые выбросы при изменении относительных задержек в этих пределах. Эти требования обычно выполняются при достаточно широкополосном шуме и большой базе обнаруживаемого сигнала.

Правила обнаружения (2.56) и (2.60) допускают обобщение на случай многоальтернативного обнаружения, если обнаруживаемые сигналы ортогональны при любых начальных фазах при обнаружении в белом шуме или ортогональны при произвольных относительных задержках в случае коррелированного шума. Структурные схемы соответствующих обнаружителей даны на рис. 2.12, 2.13,