4.3.3. Адаптивное последовательное обнаружение на фоне гауссовского шума неизвестной мощности при наличии классифицированной обучающей выборки

Задача построения оптимального невырожденного последовательного решающего правила, обладающего инвариантностью, в том случае, когда неизвестное стандартное отклонение гауссовского шума а изменяется по случайному закону интервал корреляции которого меньше или сравним со временем наблюдения, в общем виде оказывается весьма сложной прежде всего из-за трудности поиска оптимальных решающих границ . Эта задача существенно облегчается, если на всех шагах наблюдения имеется возможность получения классифицированной (соответствующей гипотезе ) обучающей выборки, на основании которой может быть вычислена текущая оценка мешающего параметра .

Как указывалось выше, условия для получения такой обучающей выборки имеются в тех случаях, когда помеха может считаться однородной в более широкой частотно-временной области, чем область существования полезного сигнала. Например, для импульсного сигнала, обладающего достаточно большой скважностью, оценка мощности аддитивного шума может быть получена интегрированием реализации на некотором интервале времени, прилегающем к отчету относительно которого осуществляется проверка гипотез Для узкополосного сигнала оценка интенсивности широкополосного шума может производиться в соседних частотных каналах. Иногда указанные способы измерения шума могут применяться совместно

Наличие обучающей выборки, как уже указывалось, позволяет при вычислении оценки пренебречь информацией о параметре содержащейся в решающей выборке что обеспечивает взаимную независимость выборок Если объем обучающей выборки достаточно велик. При построении алгоритма оценки без заветных потерь в точности можно отказаться также от использования априорной информации о коррелированности процесса а и для каждого вычислять оценку по выборке не зависящей от выборок, использовавшихся на других шагах. При определенном операторе оценки а, и известном законе распределения обучающей выборки условная плотность распределения также полностью известна. На ее основе может быть вычислено апостериорное распределение которое, как указывалось выше, при высокой точности оценки о мало зависит от вида и параметров априорного распределения . Интегрированием условных функций правдоподобия по апостериорному распределению сложные гипотезы сводятся к простым гипотезам Ни которым соответствуют не содержащие неизвестных параметров функции правдоподобия

Оптимальный последовательный алгоритм различения гипотез и в соответствии с (4.66), (4.67) должен строиться на основе статистики логарифма отношения правдоподобия, которая при сделанных предположениях о независимости выборок имеет вид

Среднее приращение статистики (4.70) за один шаг последовательной процедуры зависит от а, поэтому при изменениях параметра a длительность процедуры будет автоматически меняться, обеспечивая при сравнении статистики (4.70) с вальдовскими решающими порогами ограниченность сверху вероятностей ошибок расчетными значениями [180].

Отличие такой последовательной процедуры различения простых гипотез от рассмотренных в § 4.2 состоит в том, что при нестационарном за время наблюдения параметре а выборка является неоднородной. Покажем, что последовательный анализ независимой неоднородной выборки с вероятностью, равной единице, завершится за конечное время, если при этом на всех шагах выполняется условие ограниченности снизу дисперсии , т. е. . (В задачах

обнаружения сигналов это условие является естественным, поскольку в реальных приемных устройствах

Следуя А. Вальду (см. 1149], с. 202), разобьем бесконечную последовательность на интервалы, каждый из которых включает отсчетов Пусть обозначает сумму элементов интервала. Для доказательства того, что последовательный процесс рано или поздно завершится, достаточно показать, что равна нулю вероятность Р того, что одновременно при всех окажется справедливым неравенство или где поскольку по условию являются независимыми величинами, также распределены независимо, следовательно, Так как дисперсия соответствующим выбором значения интервала всегда можно обеспечить выполнение неравенства при этом . Следовательно, т. е. с вероятностью, равной единице, последовательный анализ рано или поздно завершается.

Условное математическое ожидание приращений статистики (4.70) при фиксированном параметре из-за интегрирования функций правдоподобия по апостериорной плотности оказывается меньше значения , соответствующего точно известному параметру а. Соответственно средняя длительность адаптивной процедуры, построенной на статистике (4.70), будет больше, чем при точно известном что является платой за априорную неопределенность этого параметра. Однако, поскольку статистика (4.70) представляет собой отношение правдоподобия выборочного вектора последовательный критерий, основанный на этой статистике, будет иметь наименьшую среднюю длительность среди всех критериев, построенных на основании независимых оценок а и обеспечивающих заданные значения и В качестве примера рассмотрим адаптивную последовательную процедуру некогерентного обнаружения сигнала с постоянной амплитудой и случайной начальной фазой на фоне шума с рэлеевским распределением огибающей, дисперсия которого априори неизвестна и может изменяться за время наблюдения по случайному закону Гипотезе при этом соответствует рэлеевское распределение независимых отсчетов наблюдаемой величины :

а альтернативе — распределение Райса

Пусть для каждого отсчета имеется не зависимая от выборка , относительно которой априори

известно, что она соответствует гипотезе , т. е. подчиняется распределению (4.71).

На основании выборки может быть вычислена оценка максимального, правдоподобия параметра а

Эта оценка при конечном объеме выборки является смещенной:

Соответствующая несмещенная оценка

имеет условную плотность распределения

( распределение с параметрами ).

Отметим, что с точки зрения практической реализации удобнее линейная несмещенная оценка вида

по эффективности весьма близкая к максимально правдоподобной (коэффициент асимптотической эффективности оценки (4.75) равен 0,914). Однако аналитическое выражение распределения этой оценки оказывается слишком громоздким. Поэтому, а также с целью исследования потенциальной эффективности алгоритма в данном примере используется несмещенная оценка (4.73).

В качестве априорной целесообразно выбрать обладающую свойством инвариантности к преобразованиям вида несобственную плотность [155]

На основании (4.72), (4.74), (4.76) с учетом разложения находим двумерную плотность

Поскольку оценка о в (4.77) играет роль масштабного коэффициента, перейдем к одномерному распределению нормированной переменной

где — безусловное распределение оценки а.

При когда плотность Райса (4.72) нормализуется, плотность (4.78) стремится к нецентральному -распределению [155]; при из формулы (4.78) следует

Отметим, что плотность полученная здесь в предположении, что априорное распределение в действительности инвариантна к распределению . Для того чтобы убедиться в этом, достаточно найти распределение отношения независимых величин , задаваемых условными плотностями (4.71) и (4.74). Оказывается, что это распределение не зависит от параметра , а следовательно, и от . Распределение аналогичным свойством не обладает.

Поскольку , плотности (4.78) и сходятся в обычном смысле к плотностям (4.72) и (4.71):

Таким образом, статистика (4.70) сходится по вероятности к статистике, соответствующей случаю точно известного параметра а, т. е. алгоритм различения гипотез основанный на статистике (4.70), является состоятельным [1].

На рис. 4.12 приведено семейство зависимостей , рассчитанных по формуле (4.70) для распределений (4.78) и (4.79) при различных объемах обучающей выборки [182]. Особенностью этих кривых при конечном является их немонотонный характер. Можно показать, что,

хотя сростом абсцисса и ордината максимума функции неограниченно возрастают, при любом конечном

Сближение гипотез, наблюдаемое при связано с тем, что из-за возможных отклонений оценки в сторону значений существенный вклад в полную вероятность вносят комбинации а, вероятности которых при примерно одинаковы, а не комбинации а вероятности которых хотя и существенно различаются при гипотезе и альтернативе, но малы по абсолютной величине.

Рис. 4.12. Зависимость решающей статистики от нормированной наблюдаемой величины и при различных объемах обучающей выборки

На рис. 4.13 приведены зависимости , характеризующие потери в информации Кульбака—Леблера возникающие из-за конечной точности измерения параметра . Как видно из рисунка, эти потери при составляют 50—30%, что приводит к соответствующему возрастанию средней длительности принятия решения.

Очевидно, что с точки зрения минимизации потерь в средней длительности последовательной процедуры, связанных с флуктуационной ошибкой оценки а, желательно эту оценку строить по обучающей выборке максимально возможного объема . При обнаружении импульсного сигнала предел увеличению ставит условие локальной стационарности процесса на временном интервале соответствующем реализации из которой формируется обучающая выборка . Если это условие не соблюдается, оценка а, - вычисляется с большой систематической ошибкой относительно истинного значения параметра что в свою очередь приводит к росту ошибок принятия решения.

В том случае, когда оценка формируется в результате интегрирования сигнала вдоль частотной оси частотно-временной плоскости, существует аналогичное ограничение на отношение ширины спектра помехи к ширине полосы частот, в которой производится измерение. Поскольку требования минимизации флуктуационной и систематической ошибок противоречивы, существует некоторое значение времени наблюдения (объем выборки ), при котором минимизируется суммарная ошибка вычисления оценки а.

Рис. 4.13. Потери в информации Кульбака—Леблера из-за конечной точности оценки уровня шума

В [183] показано, что в случае, когда измерение а производится с помощью линейного оператора (4.75), независимо от вида распределения выражение для оптимального времени осреднения имеет вид

Здесь интервал корреляции огибающей на выходе приемника; — ширина спектра процесса коэффициент, характеризующий относительный разброс (нестационарность) процесса Значение коэффициента зависит от формы энергетического спектра процесса гауссовского спектра для прямоугольного для экспоненциального

Дисперсия оценки (4.75) при оптимальном выборе интервала осреднения

Минимум при выражен не резко, однако при существенных отличиях значений дисперсия оценки превышает минимальное значение на порядок и более.